Шаг 1
Преобразуем второе уравнение.
$x^{2} + y = xy + x \Rightarrow x^{2} - x + y - xy = 0 \Rightarrow x(x-1) - y(x-1) = 0 \Rightarrow (x-1)(x-y) = 0$.
$x^{2} + y = xy + x \Rightarrow x^{2} - x + y - xy = 0 \Rightarrow x(x-1) - y(x-1) = 0 \Rightarrow (x-1)(x-y) = 0$.
Результат:
$x = 1$ или $y = x$.
Шаг 2
Подставим $x = 1$ в первое уравнение.
Первое уравнение: $a x^{2} + a y^{2} - (2a-5)x + 2a y + 1 = 0$.
При $x=1$: $a + a y^{2} - (2a-5) + 2a y + 1 = 0 \Rightarrow a y^{2} + 2a y + (6 - a) = 0$. (1)
Первое уравнение: $a x^{2} + a y^{2} - (2a-5)x + 2a y + 1 = 0$.
При $x=1$: $a + a y^{2} - (2a-5) + 2a y + 1 = 0 \Rightarrow a y^{2} + 2a y + (6 - a) = 0$. (1)
Шаг 3
Подставим $y = x$ в первое уравнение.
При $y=x$: $a x^{2} + a x^{2} - (2a-5)x + 2a x + 1 = 0 \Rightarrow 2a x^{2} + 5x + 1 = 0$. (2)
При $y=x$: $a x^{2} + a x^{2} - (2a-5)x + 2a x + 1 = 0 \Rightarrow 2a x^{2} + 5x + 1 = 0$. (2)
Шаг 4
Условия для четырёх решений.
Система равносильна двум подсистемам:
1) $x=1$ и уравнение (1).
2) $y=x$ и уравнение (2).
Для ровно четырёх различных решений необходимо, чтобы каждая подсистема имела два различных решения и эти решения не совпадали.
Система равносильна двум подсистемам:
1) $x=1$ и уравнение (1).
2) $y=x$ и уравнение (2).
Для ровно четырёх различных решений необходимо, чтобы каждая подсистема имела два различных решения и эти решения не совпадали.
Шаг 5
Условия двух решений в каждой подсистеме.
Для (1): $a \neq 0$, $D_{1} > 0$.
$D_{1} = (2a)^{2} - 4a(6-a) = 8a^{2} - 24a = 8a(a-3) > 0 \Rightarrow a(a-3) > 0 \Rightarrow a \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.
Для (2): $a \neq 0$, $D_{2} > 0$.
$D_{2} = 25 - 8a > 0 \Rightarrow a < \frac{25}{8} = 3.125$.
Объединяя: $a \in (-\infty, 0) \cup (3, 3.125)$.
Для (1): $a \neq 0$, $D_{1} > 0$.
$D_{1} = (2a)^{2} - 4a(6-a) = 8a^{2} - 24a = 8a(a-3) > 0 \Rightarrow a(a-3) > 0 \Rightarrow a \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.
Для (2): $a \neq 0$, $D_{2} > 0$.
$D_{2} = 25 - 8a > 0 \Rightarrow a < \frac{25}{8} = 3.125$.
Объединяя: $a \in (-\infty, 0) \cup (3, 3.125)$.
Шаг 6
Проверка на совпадение решений.
Общее решение возможно только если точка $(1,1)$ удовлетворяет обеим подсистемам.
Для (1): $a \cdot 1^{2} + 2a \cdot 1 + (6-a) = 2a+6=0 \Rightarrow a=-3$.
Для (2): $2a \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 + 1 = 2a+6=0 \Rightarrow a=-3$.
При $a=-3$ точка $(1,1)$ общая, поэтому решений будет три. Исключаем $a=-3$.
Общее решение возможно только если точка $(1,1)$ удовлетворяет обеим подсистемам.
Для (1): $a \cdot 1^{2} + 2a \cdot 1 + (6-a) = 2a+6=0 \Rightarrow a=-3$.
Для (2): $2a \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 + 1 = 2a+6=0 \Rightarrow a=-3$.
При $a=-3$ точка $(1,1)$ общая, поэтому решений будет три. Исключаем $a=-3$.
Шаг 7
Проверка граничных значений.
При $a=3$: $D_{1}=0$ (одно решение в первой подсистеме), $D_{2}=1>0$ (два решения во второй). Всего три решения.
При $a=3.125$: $D_{2}=0$ (одно решение во второй подсистеме), $D_{1}>0$ (два в первой). Всего три решения.
Граничные точки не подходят.
При $a=3$: $D_{1}=0$ (одно решение в первой подсистеме), $D_{2}=1>0$ (два решения во второй). Всего три решения.
При $a=3.125$: $D_{2}=0$ (одно решение во второй подсистеме), $D_{1}>0$ (два в первой). Всего три решения.
Граничные точки не подходят.
Шаг 8
Итоговый ответ.
$a \in (-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (3, 3.125)$.
$a \in (-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (3, 3.125)$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (3, 3.125)$