Шаг 1
Первое уравнение $(x^2 + y^2 + 4x) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0$ равносильно совокупности двух систем:
1) $x^2 + y^2 + 4x = 0$, $2x + y + 6 \ge 0$, $y = ax - 2a$
2) $2x + y + 6 = 0$, $y = ax - 2a$
1) $x^2 + y^2 + 4x = 0$, $2x + y + 6 \ge 0$, $y = ax - 2a$
2) $2x + y + 6 = 0$, $y = ax - 2a$
Шаг 2
Система 2. Подставляем $y = ax - 2a$ в $2x + y + 6 = 0$:
$2x + ax - 2a + 6 = 0 \Rightarrow (a+2)x = 2a - 6$.
При $a \ne -2$: $x_0 = \frac{2a - 6}{a + 2}$, $y_0 = a x_0 - 2a$ — одно решение.
При $a = -2$: $0 \cdot x = -10$, решений нет.
$2x + ax - 2a + 6 = 0 \Rightarrow (a+2)x = 2a - 6$.
При $a \ne -2$: $x_0 = \frac{2a - 6}{a + 2}$, $y_0 = a x_0 - 2a$ — одно решение.
При $a = -2$: $0 \cdot x = -10$, решений нет.
Шаг 3
Система 1. Подставляем $y = ax - 2a$ в $x^2 + y^2 + 4x = 0$:
$(1 + a^2)x^2 + (4 - 4a^2)x + 4a^2 = 0$.
Дискриминант $D = 16(1 - 3a^2)$.
$D > 0$ при $|a| < \frac{1}{\sqrt{3}}$ (два корня),
$D = 0$ при $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (один корень),
$D < 0$ при $|a| > \frac{1}{\sqrt{3}}$ (нет корней).
$(1 + a^2)x^2 + (4 - 4a^2)x + 4a^2 = 0$.
Дискриминант $D = 16(1 - 3a^2)$.
$D > 0$ при $|a| < \frac{1}{\sqrt{3}}$ (два корня),
$D = 0$ при $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (один корень),
$D < 0$ при $|a| > \frac{1}{\sqrt{3}}$ (нет корней).
Шаг 4
Условие $2x + y + 6 \ge 0$ в системе 1.
$2x + (ax - 2a) + 6 \ge 0 \Rightarrow (a+2)x \ge 2a - 6$.
При $a > -2$: $x \ge x_0$; при $a < -2$: $x \le x_0$; при $a = -2$: верно всегда.
$2x + (ax - 2a) + 6 \ge 0 \Rightarrow (a+2)x \ge 2a - 6$.
При $a > -2$: $x \ge x_0$; при $a < -2$: $x \le x_0$; при $a = -2$: верно всегда.
Шаг 5
Исходная система имеет решения из систем 1 и 2. Чтобы было ровно два различных решения, возможны случаи:
A) Система 2 даёт одно решение, система 1 — одно, и они различны.
B) Система 2 даёт одно решение, система 1 — два, но одно совпадает с решением системы 2 (тогда общее количество — два).
A) Система 2 даёт одно решение, система 1 — одно, и они различны.
B) Система 2 даёт одно решение, система 1 — два, но одно совпадает с решением системы 2 (тогда общее количество — два).
Шаг 6
Случай A. Система 2 даёт решение при $a \ne -2$. Система 1 даёт одно решение при $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Проверим:
При $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$: квадратное уравнение имеет корень $x = -1$, решение системы 2 $x_0 = \frac{2/\sqrt{3} - 6}{1/\sqrt{3} + 2} \ne -1$, условие $2x + y + 6 \ge 0$ выполнено. Аналогично для $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ дают два решения.
При $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$: квадратное уравнение имеет корень $x = -1$, решение системы 2 $x_0 = \frac{2/\sqrt{3} - 6}{1/\sqrt{3} + 2} \ne -1$, условие $2x + y + 6 \ge 0$ выполнено. Аналогично для $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ дают два решения.
Шаг 7
Случай B. Найдём, когда решение системы 2 является корнем квадратного уравнения системы 1. Подстановка $x_0$ в квадратное уравнение приводит к уравнению $28a^2 - 8a - 3 = 0$, корни $a = \frac{1}{2}$ и $a = -\frac{3}{14}$.
При $a = \frac{1}{2}$: квадратное уравнение имеет корни $x_1 = -0.4$, $x_2 = -2$, причём $x_2 = x_0$. Условие $2x + y + 6 \ge 0$ выполнено для $x_1$ и $x_2$. Имеем два решения: $(-0.4, -1.2)$ и $(-2, -2)$.
При $a = -\frac{3}{14}$: аналогично получаем два различных решения. Значит, $a = \frac{1}{2}$ и $a = -\frac{3}{14}$ подходят.
При $a = \frac{1}{2}$: квадратное уравнение имеет корни $x_1 = -0.4$, $x_2 = -2$, причём $x_2 = x_0$. Условие $2x + y + 6 \ge 0$ выполнено для $x_1$ и $x_2$. Имеем два решения: $(-0.4, -1.2)$ и $(-2, -2)$.
При $a = -\frac{3}{14}$: аналогично получаем два различных решения. Значит, $a = \frac{1}{2}$ и $a = -\frac{3}{14}$ подходят.
Шаг 8
Теперь рассмотрим $a$ с $|a| < \frac{1}{\sqrt{3}}$, кроме уже найденных. Система 1 имеет два корня $x_1$, $x_2$, система 2 — одно решение $x_0$. Условие $2x + y + 6 \ge 0$ отсекает корни, не удовлетворяющие $x \ge x_0$ (при $a > -2$) или $x \le x_0$ (при $a < -2$). Чтобы система 1 дала ровно одно решение после отсева, нужно, чтобы $x_0$ лежало строго между $x_1$ и $x_2$. Это условие равносильно $28a^2 - 8a - 3 < 0$, т.е. $-\frac{3}{14} < a < \frac{1}{2}$. При этом $a$ должно удовлетворять $|a| < \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $a > -2$ (так как при $a < -2$ и $|a| < 1/\sqrt{3}$ нет пересечения). Пересечение: $-\frac{3}{14} < a < \frac{1}{2}$. В этом интервале система 1 даёт одно решение после отсева, система 2 — одно, и они различны. Пример: $a=0$ даёт два решения.
Шаг 9
Объединяя все случаи, получаем, что ровно два решения будут при:
- $a \in \left[-\frac{3}{14}, \frac{1}{2}\right]$ (включая границы, так как при $a = -\frac{3}{14}$ и $a = \frac{1}{2}$ тоже два решения),
- и $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ (они не входят в указанный отрезок, так как $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 > 0.5$, а $-\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577 < -\frac{3}{14}$).
- $a \in \left[-\frac{3}{14}, \frac{1}{2}\right]$ (включая границы, так как при $a = -\frac{3}{14}$ и $a = \frac{1}{2}$ тоже два решения),
- и $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ (они не входят в указанный отрезок, так как $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 > 0.5$, а $-\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577 < -\frac{3}{14}$).
Окончательный ответ:
$\left[-\frac{3}{14}, \frac{1}{2}\right] \cup \left\{-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right\}$