а) Можно ли получить сумму 113?
Шаг 1: Пусть разбиение на $m$ чисел с длинами $a_1,\dots,a_m$, где $a_i \ge 1$ и $\sum a_i = 2024$.
Число из $k$ единиц равно $\frac{10^k - 1}{9}$.
Сумма:
$$
S = \sum_{i=1}^m \frac{10^{a_i} - 1}{9} = \frac{1}{9}\left( \sum_{i=1}^m 10^{a_i} - m \right).
$$
Отсюда
$$
9S + m = \sum_{i=1}^m 10^{a_i}.
$$
Шаг 2: Для $S=113$:
$$
9\cdot 113 + m = 1017 + m = \sum_{i=1}^m 10^{a_i}.
$$
Так как $10^{a_i} \ge 10$, правая часть $\ge 10m$.
Значит, $1017 + m \ge 10m \Rightarrow 1017 \ge 9m \Rightarrow m \le 113$.
Шаг 3: При $m=113$ минимум правой части $10m = 1130$ достигается, если все $a_i=1$. Тогда левая часть $1017+113=1130$, равенство возможно. Но тогда $\sum a_i = 113 \ne 2024$.
Чтобы получить $\sum a_i = 2024$, хотя бы одно $a_i > 1$, тогда $\sum 10^{a_i} > 1130$, равенство нарушается.
Число из $k$ единиц равно $\frac{10^k - 1}{9}$.
Сумма:
$$
S = \sum_{i=1}^m \frac{10^{a_i} - 1}{9} = \frac{1}{9}\left( \sum_{i=1}^m 10^{a_i} - m \right).
$$
Отсюда
$$
9S + m = \sum_{i=1}^m 10^{a_i}.
$$
Шаг 2: Для $S=113$:
$$
9\cdot 113 + m = 1017 + m = \sum_{i=1}^m 10^{a_i}.
$$
Так как $10^{a_i} \ge 10$, правая часть $\ge 10m$.
Значит, $1017 + m \ge 10m \Rightarrow 1017 \ge 9m \Rightarrow m \le 113$.
Шаг 3: При $m=113$ минимум правой части $10m = 1130$ достигается, если все $a_i=1$. Тогда левая часть $1017+113=1130$, равенство возможно. Но тогда $\sum a_i = 113 \ne 2024$.
Чтобы получить $\sum a_i = 2024$, хотя бы одно $a_i > 1$, тогда $\sum 10^{a_i} > 1130$, равенство нарушается.
Результат:
Невозможно.
б) Можно ли получить сумму 114?
Шаг 1: Для $S=114$:
$$
9\cdot 114 + m = 1026 + m = \sum_{i=1}^m 10^{a_i}.
$$
Шаг 2: Минимизируем правую часть при $\sum a_i = 2024$:
Пусть одно число длины $2024-(m-1)$, остальные $m-1$ чисел длины 1. Тогда
$$
\sum 10^{a_i} = 10^{2024-m+1} + 10(m-1).
$$
Уравнение:
$$
1026 + m = 10^{2024-m+1} + 10(m-1).
$$
Шаг 3: При любом $m$ от 1 до 2024:
- Если $m$ мало, $10^{2024-m+1}$ огромно.
- Если $m$ близко к 2024, правая часть порядка $10(m-1) \approx 10m$, левая $\approx 1026+m$, что меньше.
Например, $m=2024$: левая $3050$, правая $20240$ — не равно.
Равенство невозможно.
$$
9\cdot 114 + m = 1026 + m = \sum_{i=1}^m 10^{a_i}.
$$
Шаг 2: Минимизируем правую часть при $\sum a_i = 2024$:
Пусть одно число длины $2024-(m-1)$, остальные $m-1$ чисел длины 1. Тогда
$$
\sum 10^{a_i} = 10^{2024-m+1} + 10(m-1).
$$
Уравнение:
$$
1026 + m = 10^{2024-m+1} + 10(m-1).
$$
Шаг 3: При любом $m$ от 1 до 2024:
- Если $m$ мало, $10^{2024-m+1}$ огромно.
- Если $m$ близко к 2024, правая часть порядка $10(m-1) \approx 10m$, левая $\approx 1026+m$, что меньше.
Например, $m=2024$: левая $3050$, правая $20240$ — не равно.
Равенство невозможно.
Результат:
Невозможно.
в) Наибольшая четырёхзначная сумма
Шаг 1: Максимизируем $S = \frac{1}{9}\left( \sum 10^{a_i} - m \right)$ при $\sum a_i = 2024$.
При фиксированном $m$ максимум $\sum 10^{a_i}$ достигается, когда одно число длины $2024-(m-1)$, остальные длины 1. Тогда
$$
\sum 10^{a_i} = 10^{2024-m+1} + 10(m-1).
$$
$$
S(m) = \frac{10^{2024-m+1} + 10(m-1) - m}{9} = \frac{10^{2024-m+1} + 9m - 10}{9}.
$$
Шаг 2: $S(m)$ убывает с ростом $m$. Нам нужно $1000 \le S \le 9999$.
Шаг 3: Перебираем $m$ около 2020:
- $m=2020$: $a_1=5$, $\sum 10^{a_i} = 10^5 + 2019\cdot 10 = 120190$, $S = \frac{120190-2020}{9} = 13130$ (пятизначное).
- $m=2021$: $a_1=4$, $\sum = 10^4 + 2020\cdot 10 = 30200$, $S = \frac{30200-2021}{9} = 3131$ (четырёхзначное).
- $m=2022$: $a_1=3$, $S = 2132$.
- $m=2023$: $a_1=2$, $S = 2033$.
- $m=2024$: все единицы, $S = 2024$.
Шаг 4: При $m=2019$ $S$ уже пятизначное (113129). Значит, максимальное четырёхзначное $S$ — при $m=2021$.
При фиксированном $m$ максимум $\sum 10^{a_i}$ достигается, когда одно число длины $2024-(m-1)$, остальные длины 1. Тогда
$$
\sum 10^{a_i} = 10^{2024-m+1} + 10(m-1).
$$
$$
S(m) = \frac{10^{2024-m+1} + 10(m-1) - m}{9} = \frac{10^{2024-m+1} + 9m - 10}{9}.
$$
Шаг 2: $S(m)$ убывает с ростом $m$. Нам нужно $1000 \le S \le 9999$.
Шаг 3: Перебираем $m$ около 2020:
- $m=2020$: $a_1=5$, $\sum 10^{a_i} = 10^5 + 2019\cdot 10 = 120190$, $S = \frac{120190-2020}{9} = 13130$ (пятизначное).
- $m=2021$: $a_1=4$, $\sum = 10^4 + 2020\cdot 10 = 30200$, $S = \frac{30200-2021}{9} = 3131$ (четырёхзначное).
- $m=2022$: $a_1=3$, $S = 2132$.
- $m=2023$: $a_1=2$, $S = 2033$.
- $m=2024$: все единицы, $S = 2024$.
Шаг 4: При $m=2019$ $S$ уже пятизначное (113129). Значит, максимальное четырёхзначное $S$ — при $m=2021$.
Результат:
Наибольшая четырёхзначная сумма равна 3131.
Окончательный ответ: