Задание 727277

** Введём векторы $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, тогда $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$. **

** Найдём координаты точек в базисе $(\vec{b}, \vec{c})$ с началом в $A$: - $K$: $\vec{AK} = \frac{2}{3} \vec{AB} = \frac{2}{3} \vec{b} \Rightarrow K\left( \frac{2}{3}, 0 \right)$ - $L$: $\vec{BL} = \frac{2}{3} \vec{BC} = \frac{2}{3}(\vec{c} - \vec{b})$, $\vec{L} = \vec{b} + \frac{2}{3}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c} \Rightarrow L\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$ - $M$: $\vec{CM} = \frac{1}{3} \vec{CA} = -\frac{1}{3} \vec{c}$, $\vec{M} = \vec{c} - \frac{1}{3} \vec{c} = \frac{2}{3} \vec{c} \Rightarrow M\left( 0, \frac{2}{3} \right)$ **

** Найдём точку $O$ пересечения $AL$ и $CK$. Прямая $AL$: $\left( \frac{t}{3}, \frac{2t}{3} \right)$. Прямая $CK$: $\left( \frac{2s}{3}, 1 - s \right)$. Приравниваем: $\frac{t}{3} = \frac{2s}{3} \Rightarrow t = 2s$, и $\frac{2t}{3} = 1 - s \Rightarrow \frac{4s}{3} = 1 - s \Rightarrow s = \frac{3}{7}$, $t = \frac{6}{7}$. Тогда $O = \left( \frac{2}{7}, \frac{4}{7} \right)$. **

** Проверим условие параллелограмма для $BKMO$. $B = (1,0)$, $K = \left( \frac{2}{3}, 0 \right)$, $M = \left( 0, \frac{2}{3} \right)$, $O = \left( \frac{2}{7}, \frac{4}{7} \right)$. Вычисляем векторы: $\vec{BK} = \left( -\frac{1}{3}, 0 \right)$, $\vec{MO} = \left( \frac{2}{7}, -\frac{2}{21} \right)$ — не равны. $\vec{BM} = \left( -1, \frac{2}{3} \right)$, $\vec{KO} = \left( -\frac{8}{21}, \frac{4}{7} \right)$ — не равны. Середины диагоналей также не совпадают. Таким образом, при данных отношениях $BKMO$ не является параллелограммом. В условии, вероятно, опечатка, но в рамках задачи требуется принять факт параллелограмма для выполнения пункта б). **б) Дано:** $AL \perp CK$, $AC = 15$, $BC = 9$. Найти радиус $R$ описанной около $\triangle ABC$ окружности. **

** Используем условие перпендикулярности $\vec{AL} \cdot \vec{CK} = 0$. $\vec{AL} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$, $\vec{CK} = \frac{2}{3} \vec{b} - \vec{c}$. Их скалярное произведение: $\left( \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \vec{b} - \vec{c} \right) = \frac{2}{9} b^2 + \frac{1}{9} \vec{b} \cdot \vec{c} - \frac{2}{3} c^2 = 0$. Умножаем на 9: $2b^2 + \vec{b} \cdot \vec{c} - 6c^2 = 0$. **

** Обозначим $AB = b$, $AC = c = 15$, $BC = a = 9$. Тогда $\vec{b} \cdot \vec{c} = b \cdot 15 \cdot \cos A$. Уравнение: $2b^2 + 15b \cos A - 6 \cdot 225 = 0 \Rightarrow 2b^2 + 15b \cos A - 1350 = 0$. (1) **

** По теореме косинусов для $\triangle ABC$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \Rightarrow 81 = b^2 + 225 - 30b \cos A \Rightarrow 30b \cos A = b^2 + 144 \Rightarrow \cos A = \frac{b^2 + 144}{30b}$. **

** Подставляем $\cos A$ в (1): $2b^2 + 15b \cdot \frac{b^2 + 144}{30b} - 1350 = 0 \Rightarrow 2b^2 + \frac{b^2 + 144}{2} - 1350 = 0$. Умножаем на 2: $4b^2 + b^2 + 144 - 2700 = 0 \Rightarrow 5b^2 = 2556 \Rightarrow b^2 = \frac{2556}{5} = 511.2$, $b = \sqrt{511.2}$. **

** Находим $\sin A$: $\cos A = \frac{511.2 + 144}{30 \sqrt{511.2}} = \frac{655.2}{30 \sqrt{511.2}}$. $\cos^2 A = \frac{655.2^2}{900 \cdot 511.2} = \frac{429287.04}{460080} \approx 0.9331$. $\sin^2 A = 1 - 0.9331 = 0.0669$, $\sin A \approx 0.2586$. **

** Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{9}{2 \cdot 0.2586} \approx 17.40$. **