Шаг 1
Преобразуем уравнение.
Исходное: $49^{\sin x} = \left( \frac{1}{7} \right)^{-\sqrt{2} \sin 2x}$.
Правая часть: $\left( \frac{1}{7} \right)^{-\sqrt{2} \sin 2x} = 7^{\sqrt{2} \sin 2x}$.
Исходное: $49^{\sin x} = \left( \frac{1}{7} \right)^{-\sqrt{2} \sin 2x}$.
Правая часть: $\left( \frac{1}{7} \right)^{-\sqrt{2} \sin 2x} = 7^{\sqrt{2} \sin 2x}$.
Результат:
$49^{\sin x} = 7^{\sqrt{2} \sin 2x}$.
Шаг 2
Приведем к одному основанию.
$49^{\sin x} = (7^2)^{\sin x} = 7^{2\sin x}$.
Получаем $7^{2\sin x} = 7^{\sqrt{2} \sin 2x} \Rightarrow 2\sin x = \sqrt{2} \sin 2x$.
$49^{\sin x} = (7^2)^{\sin x} = 7^{2\sin x}$.
Получаем $7^{2\sin x} = 7^{\sqrt{2} \sin 2x} \Rightarrow 2\sin x = \sqrt{2} \sin 2x$.
Шаг 3
Упростим, используя $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
$2\sin x = \sqrt{2} \cdot 2\sin x \cos x \Rightarrow 2\sin x = 2\sqrt{2} \sin x \cos x$.
Выносим общий множитель: $2\sin x (1 - \sqrt{2} \cos x) = 0$.
$2\sin x = \sqrt{2} \cdot 2\sin x \cos x \Rightarrow 2\sin x = 2\sqrt{2} \sin x \cos x$.
Выносим общий множитель: $2\sin x (1 - \sqrt{2} \cos x) = 0$.
Шаг 4
Решаем полученные уравнения.
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - \sqrt{2} \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - \sqrt{2} \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Отбор корней на отрезке $\left[ 2\pi, \frac{7\pi}{2} \right]$.
- Для $x = \pi n$: $n=2$ дает $x=2\pi$, $n=3$ дает $x=3\pi$ (оба входят).
- Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $k=1$ дает $x = \frac{9\pi}{4}$ (входит).
- Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k=1$ получаем $\frac{7\pi}{4} < 2\pi$, при $k=2$ получаем $\frac{15\pi}{4} > \frac{7\pi}{2}$ – не входят.
- Для $x = \pi n$: $n=2$ дает $x=2\pi$, $n=3$ дает $x=3\pi$ (оба входят).
- Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $k=1$ дает $x = \frac{9\pi}{4}$ (входит).
- Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k=1$ получаем $\frac{7\pi}{4} < 2\pi$, при $k=2$ получаем $\frac{15\pi}{4} > \frac{7\pi}{2}$ – не входят.
Результат:
корни $2\pi$, $\frac{9\pi}{4}$, $3\pi$.
Окончательный ответ: