Шаг 1
Замена переменной.
Уравнение: $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$.
Заметим, что $81^{\sin x} = (9^2)^{\sin x} = 9^{2\sin x}$. Тогда уравнение можно записать как $27 \cdot (9^{\sin x})^2 - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$.
Пусть $t = 9^{\sin x}$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение:
$27t^2 - 12t + 1 = 0$.
Уравнение: $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$.
Заметим, что $81^{\sin x} = (9^2)^{\sin x} = 9^{2\sin x}$. Тогда уравнение можно записать как $27 \cdot (9^{\sin x})^2 - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$.
Пусть $t = 9^{\sin x}$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение:
$27t^2 - 12t + 1 = 0$.
Шаг 2
Решение квадратного уравнения.
Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36$.
Корни: $t = \frac{12 \pm 6}{54}$.
$t_1 = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}$, $t_2 = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$.
Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36$.
Корни: $t = \frac{12 \pm 6}{54}$.
$t_1 = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}$, $t_2 = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$.
Шаг 3
Возврат к переменной $\sin x$.
1) $9^{\sin x} = \frac{1}{9} = 9^{-1} \Rightarrow \sin x = -1$.
2) $9^{\sin x} = \frac{1}{3} = 9^{-1/2} \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$.
1) $9^{\sin x} = \frac{1}{9} = 9^{-1} \Rightarrow \sin x = -1$.
2) $9^{\sin x} = \frac{1}{3} = 9^{-1/2} \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$.
Шаг 4
Решение тригонометрических уравнений.
Для $\sin x = -1$: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Для $\sin x = -\frac{1}{2}$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.
Для $\sin x = -1$: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Для $\sin x = -\frac{1}{2}$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Отбор корней на отрезке $\left[ \frac{3\pi}{2}, 3\pi \right]$.
Рассмотрим каждую серию:
1) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
При $n=1$: $x = \frac{3\pi}{2}$ — принадлежит отрезку. При $n=2$: $x = \frac{7\pi}{2} > 3\pi$ — не принадлежит.
2) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=1$: $x = \frac{11\pi}{6}$ — принадлежит отрезку, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 3\pi$. При $k=2$: $x = \frac{23\pi}{6} > 3\pi$ — не принадлежит.
3) $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$.
При $m=1$: $x = \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ — не принадлежит. При $m=2$: $x = \frac{19\pi}{6} > 3\pi$ — не принадлежит.
На отрезке лежат корни: $x = \frac{3\pi}{2}$, $x = \frac{11\pi}{6}$.
Рассмотрим каждую серию:
1) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
При $n=1$: $x = \frac{3\pi}{2}$ — принадлежит отрезку. При $n=2$: $x = \frac{7\pi}{2} > 3\pi$ — не принадлежит.
2) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=1$: $x = \frac{11\pi}{6}$ — принадлежит отрезку, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 3\pi$. При $k=2$: $x = \frac{23\pi}{6} > 3\pi$ — не принадлежит.
3) $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$.
При $m=1$: $x = \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$ — не принадлежит. При $m=2$: $x = \frac{19\pi}{6} > 3\pi$ — не принадлежит.
На отрезке лежат корни: $x = \frac{3\pi}{2}$, $x = \frac{11\pi}{6}$.
Окончательный ответ: