Шаг 1
Преобразуем уравнение.
$(1/49)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin(\pi/2 - x)}$.
Так как $1/49 = 7^{-2}$ и $\sin(x+\pi) = -\sin x$, левая часть равна $7^{-2\sin(x+\pi)} = 7^{2\sin x}$.
Правая часть: $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$, поэтому она равна $7^{2\sqrt{3}\cos x}$.
$(1/49)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin(\pi/2 - x)}$.
Так как $1/49 = 7^{-2}$ и $\sin(x+\pi) = -\sin x$, левая часть равна $7^{-2\sin(x+\pi)} = 7^{2\sin x}$.
Правая часть: $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$, поэтому она равна $7^{2\sqrt{3}\cos x}$.
Шаг 2
Приравниваем показатели степеней с основанием 7.
$2\sin x = 2\sqrt{3}\cos x$.
$2\sin x = 2\sqrt{3}\cos x$.
Шаг 3
Упрощаем уравнение.
Сокращаем на 2: $\sin x = \sqrt{3}\cos x$.
Делим на $\cos x$ (при этом $\cos x \neq 0$, что проверяется отдельно и не даёт решений): $\tan x = \sqrt{3}$.
Сокращаем на 2: $\sin x = \sqrt{3}\cos x$.
Делим на $\cos x$ (при этом $\cos x \neq 0$, что проверяется отдельно и не даёт решений): $\tan x = \sqrt{3}$.
Шаг 4
Находим общее решение.
$x = \frac{\pi}{3} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{3} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Отбираем корни на отрезке $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$.
Решаем неравенство: $3\pi \leq \frac{\pi}{3} + \pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $3 \leq \frac{1}{3} + k \leq \frac{9}{2}$.
Вычитаем $\frac{1}{3}$: $\frac{8}{3} \leq k \leq \frac{25}{6} \approx 4.166$.
Целые $k$: $k = 3$ и $k = 4$.
Решаем неравенство: $3\pi \leq \frac{\pi}{3} + \pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $3 \leq \frac{1}{3} + k \leq \frac{9}{2}$.
Вычитаем $\frac{1}{3}$: $\frac{8}{3} \leq k \leq \frac{25}{6} \approx 4.166$.
Целые $k$: $k = 3$ и $k = 4$.
Шаг 6
Вычисляем корни.
При $k=3$: $x = \frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3}$.
При $k=4$: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$.
При $k=3$: $x = \frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3}$.
При $k=4$: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$.
Окончательный ответ:
$\frac{10\pi}{3},\;\frac{13\pi}{3}$.