Шаг 1
Сделаем замену: $t = 4^{\sin x}$. Тогда $16^{\sin x} = t^{2}$.
Уравнение принимает вид: $t^{2} - 6t + 8 = 0$.
Уравнение принимает вид: $t^{2} - 6t + 8 = 0$.
Шаг 2
Решаем квадратное уравнение: $t^{2} - 6t + 8 = 0$.
Его корни: $t = 2$ и $t = 4$.
Его корни: $t = 2$ и $t = 4$.
Шаг 3
Возвращаемся к переменной $x$.
1) $4^{\sin x} = 2 \Rightarrow \sin x = \log_{4} 2 = \frac{1}{2}$.
2) $4^{\sin x} = 4 \Rightarrow \sin x = \log_{4} 4 = 1$.
1) $4^{\sin x} = 2 \Rightarrow \sin x = \log_{4} 2 = \frac{1}{2}$.
2) $4^{\sin x} = 4 \Rightarrow \sin x = \log_{4} 4 = 1$.
Шаг 4
Находим общие решения.
Для $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Для $\sin x = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Для $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Для $\sin x = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Отберём корни на отрезке $\left[ -5\pi; -\frac{7\pi}{2} \right]$.
Подставим $k = -2$:
- $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$ (принадлежит отрезку).
- $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$ (не принадлежит, так как $-\frac{19\pi}{6} \approx -3.17\pi < -3.5\pi$).
- $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$ (принадлежит отрезку).
Подставим $k = -2$:
- $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$ (принадлежит отрезку).
- $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$ (не принадлежит, так как $-\frac{19\pi}{6} \approx -3.17\pi < -3.5\pi$).
- $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$ (принадлежит отрезку).
Окончательный ответ:
$-\frac{23\pi}{6},\ -\frac{7\pi}{2}$