Задание 220515

Найдём ОДЗ.
- Основание логарифма: $x+3 > 0$, $x+3 \ne 1$ $\Rightarrow$ $x > -3$, $x \ne -2$.
- Аргумент слева: $4 - x > 0$ $\Rightarrow$ $x < 4$.
- Аргумент справа: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2 > 0$ $\Rightarrow$ $x \ne 4$.
Объединяя: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

Преобразуем неравенство.
Заметим, $(x-4)^2 = (4-x)^2$, поэтому $\log_{x+3}\left((x-4)^2\right) = 2\log_{x+3}(4-x)$ (в ОДЗ $4-x>0$).
Исходное неравенство: $x^2 \log_{x+3}(4-x) \le 2 \log_{x+3}(4-x)$.
Переносим всё влево: $\left(x^2 - 2\right)\log_{x+3}(4-x) \le 0$.

Найдём критические точки.
- $x^2 - 2 = 0$ $\Rightarrow$ $x = \pm\sqrt{2}$.
- $\log_{x+3}(4-x) = 0$ $\Rightarrow$ $4-x = 1$ $\Rightarrow$ $x = 3$.
Все точки $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $3$ входят в ОДЗ.

Определим знаки на интервалах ОДЗ.
Разобьём ОДЗ точками $-3$, $-2$, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $3$, $4$ на интервалы и исследуем знак произведения $A = x^2 - 2$ и $B = \log_{x+3}(4-x)$.

1. $(-3, -2)$: $A > 0$ (так как $x^2 > 2$). Основание $x+3 \in (0,1)$, аргумент $4-x > 1$ $\Rightarrow$ $B < 0$. Произведение $A \cdot B < 0$ — подходит.
2. $(-2, -\sqrt{2})$: $A > 0$. Основание $x+3 > 1$, аргумент $>1$ $\Rightarrow$ $B > 0$. $A \cdot B > 0$ — не подходит.
3. $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$: $A < 0$. Основание $>1$, аргумент $>1$ $\Rightarrow$ $B > 0$. $A \cdot B < 0$ — подходит.
4. $(\sqrt{2}, 3)$: $A > 0$, $B > 0$ $\Rightarrow$ $A \cdot B > 0$ — не подходит.
5. $(3, 4)$: $A > 0$. Основание $>1$, аргумент $4-x \in (0,1)$ $\Rightarrow$ $B < 0$. $A \cdot B < 0$ — подходит.

Проверим точки: $x = -\sqrt{2}$ и $x = \sqrt{2}$ дают $A=0$, $x=3$ даёт $B=0$, поэтому они входят в решение.

Уточним границы.
$-3$ и $4$ не входят (нарушение ОДЗ), $-2$ не входит (основание равно 1). Все найденные интервалы и точки учтены.