🔍 Решение
Шаг 1
** Введём координаты.
Поместим $A(0,0,0)$, $B(12,0,0)$, $C\left(6,6\sqrt{3},0\right)$,
$A_1(0,0,12)$, $B_1(12,0,12)$, $C_1\left(6,6\sqrt{3},12\right)$.
Тогда $M(0,0,4)$ (так как $A_1M=8$, $MA=4$), $K(6,0,12)$ (середина $A_1B_1$).
**
Шаг 2
** Условие $\alpha \perp (ABB_1A_1)$.
Плоскость $(ABB_1A_1)$ — это $y=0$. Плоскость, перпендикулярная ей, имеет нормаль $\vec{n}=(a,0,c)$ (лежащую в плоскости $y=0$).
**
Шаг 3
** Уравнение плоскости $\alpha$ через $M$ и $K$ с нормалью $\vec{n}=(a,0,c)$.
Вектор $\vec{MK}=(6,0,8)$. Условие $\vec{n} \perp \vec{MK}$: $6a+8c=0 \Rightarrow 3a+4c=0$.
Выбираем $a=4$, $c=-3$, тогда $\vec{n}=(4,0,-3)$.
Уравнение через $M(0,0,4)$: $4(x-0)+0(y-0)-3(z-4)=0 \Rightarrow 4x-3z+12=0$.
**
Шаг 4
** Проверка точки $C_1\left(6,6\sqrt{3},12\right)$.
Подставляем: $4\cdot 6 - 3\cdot 12 + 12 = 24 - 36 + 12 = 0$.
Значит, $C_1 \in \alpha$. Доказано.
---
**б) Найти площадь сечения плоскостью $\alpha$**
**
Шаг 5
** Находим пересечение $\alpha$ с рёбрами призмы.
Уравнение $\alpha$: $4x-3z+12=0$.
- $AA_1$: $x=0$, $z=t$: $0-3t+12=0 \Rightarrow t=4$ — точка $M$.
- $A_1B_1$: $z=12$, $x=s$: $4s-36+12=0 \Rightarrow s=6$ — точка $K$.
- $B_1C_1$: параметрически $(6+6t, 6\sqrt{3}t, 12)$: $4(6+6t)-24=0 \Rightarrow t=0$ — точка $C_1$.
- $A_1C_1$: $(6t, 6\sqrt{3}t, 12)$: $24t-24=0 \Rightarrow t=1$ — точка $C_1$.
- Остальные рёбра не дают точек пересечения в пределах отрезков.
**
Шаг 6
** Сечение — треугольник $MKC_1$, так как $\alpha$ пересекает грань $AA_1B_1B$ по $MK$, грань $AA_1C_1C$ по $MC_1$, а $KC_1$ лежит в верхнем основании (прямая $x=6$, $z=12$).
**
Шаг 7
** Вычисляем площадь треугольника $MKC_1$.
Координаты: $M(0,0,4)$, $K(6,0,12)$, $C_1\left(6,6\sqrt{3},12\right)$.
Векторы: $\vec{MK}=(6,0,8)$, $\vec{MC_1}=\left(6,6\sqrt{3},8\right)$.
Векторное произведение:
$\vec{MK} \times \vec{MC_1} = \left(0\cdot 8 - 8\cdot 6\sqrt{3},\; -\left(6\cdot 8 - 8\cdot 6\right),\; 6\cdot 6\sqrt{3} - 0\cdot 6\right) = \left(-48\sqrt{3},\; 0,\; 36\sqrt{3}\right)$.
Длина: $\sqrt{\left(-48\sqrt{3}\right)^2 + 0^2 + \left(36\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{6912 + 3888} = \sqrt{10800} = 60\sqrt{3}$.
Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 60\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$.
---
**
Окончательный ответ:
30\sqrt{3} \approx 51.96