Шаг 1
В треугольнике $PQW$ известны стороны $PQ = 16$, $QW = 12$. По теореме Пифагора проверяем: $16^{2} + 12^{2} = 256 + 144 = 400 = 20^{2}$. Значит, третья сторона $PW = 20$, и треугольник прямоугольный с гипотенузой $PW$.
Шаг 2
Угол против стороны $PW$ равен $90^{\circ}$. Поскольку $PW$ — гипотенуза, а $PQ$ и $QW$ — катеты, прямой угол — это $\angle PQW$.
Шаг 3
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $R = \frac{PW}{2} = \frac{20}{2} = 10$, что соответствует условию.
Шаг 4
Точки делят стороны в заданных отношениях: $AP:PB = 3:4$, $CQ:QB = 3:4$, $CW:WD = 3:4$. Это позволяет однозначно определить положение точек на сторонах $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно.
Шаг 5
Введём удобную систему координат. Поместим точку $Q$ в начало $(0,0)$. Направим катет $QP$ вдоль оси $Ox$, а катет $QW$ вдоль оси $Oy$. Тогда $P = (16,0)$, $W = (0,12)$.
Шаг 6
Из отношений $CQ:QB = 3:4$ следует, что точка $B$ лежит на продолжении $Q$ за $C$. Координаты: $B = \left(0, -\frac{4}{3} \cdot 12\right) = (0, -16)$.
Шаг 7
Из $AP:PB = 3:4$ находим координаты $A$. Точка $P$ делит $AB$ в отношении $AP:PB = 3:4$. Используя формулу деления отрезка, получаем $A = \left(28, \frac{28}{3}\right)$.
Шаг 8
Из $CW:WD = 3:4$ находим координаты $D$. Точка $W$ делит $CD$ в отношении $CW:WD = 3:4$. Получаем $D = \left(-\frac{64}{3}, 28\right)$.
Шаг 9
Координаты $C$ находим из того, что $Q$ делит $BC$ в отношении $CQ:QB = 3:4$. Получаем $C = \left(0, \frac{48}{7}\right)$.
Шаг 10
Площадь четырёхугольника $ABCD$ находим как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ACD$ (или используя формулу площади через координаты вершин). Вычисления дают $S_{ABCD} = 392$.
Окончательный ответ:
392