Шаг 1
Первое уравнение $(xy^2 - 3xy - 3y + 9)\sqrt{3-x} = 0$ равносильно совокупности:
1) $\sqrt{3-x} = 0 \Rightarrow x = 3$ (с учётом $x \le 3$).
2) $xy^2 - 3xy - 3y + 9 = 0$.
Второе уравнение системы: $y = ax$.
Случай A: $x = 3$, $y = 3a$.
Случай B: $xy^2 - 3xy - 3y + 9 = 0$, $x \le 3$, $y = ax$.
1) $\sqrt{3-x} = 0 \Rightarrow x = 3$ (с учётом $x \le 3$).
2) $xy^2 - 3xy - 3y + 9 = 0$.
Второе уравнение системы: $y = ax$.
Результат:
система распадается на два случая:
Случай A: $x = 3$, $y = 3a$.
Случай B: $xy^2 - 3xy - 3y + 9 = 0$, $x \le 3$, $y = ax$.
Шаг 2
Подставляем $y = ax$ в уравнение случая B:
$x(ax)^2 - 3x(ax) - 3(ax) + 9 = 0 \Rightarrow a^2 x^3 - 3a x^2 - 3a x + 9 = 0$.
Разложим на множители: $(a^2 x^3 - 3a x^2) + (-3a x + 9) = a x^2 (a x - 3) - 3(a x - 3) = (a x - 3)(a x^2 - 3) = 0$.
$x(ax)^2 - 3x(ax) - 3(ax) + 9 = 0 \Rightarrow a^2 x^3 - 3a x^2 - 3a x + 9 = 0$.
Разложим на множители: $(a^2 x^3 - 3a x^2) + (-3a x + 9) = a x^2 (a x - 3) - 3(a x - 3) = (a x - 3)(a x^2 - 3) = 0$.
Результат:
$(a x - 3)(a x^2 - 3) = 0$, $x \le 3$.
Шаг 3
Решаем $(a x - 3)(a x^2 - 3) = 0$.
1) $a x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{a}$ (при $a \ne 0$).
2) $a x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{a}$.
При $a \le 0$ решений нет (либо $x^2 < 0$, либо уравнение не выполняется). Значит, $a > 0$.
Тогда $x_1 = \frac{3}{a}$, $x_2 = \sqrt{\frac{3}{a}}$, $x_3 = -\sqrt{\frac{3}{a}}$.
1) $a x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{a}$ (при $a \ne 0$).
2) $a x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{a}$.
При $a \le 0$ решений нет (либо $x^2 < 0$, либо уравнение не выполняется). Значит, $a > 0$.
Тогда $x_1 = \frac{3}{a}$, $x_2 = \sqrt{\frac{3}{a}}$, $x_3 = -\sqrt{\frac{3}{a}}$.
Шаг 4
Учитываем ограничение $x \le 3$ и требование различных решений всей системы.
Случай A всегда даёт $x = 3$. Нужно, чтобы суммарно было ровно три различных $x$.
Случай A всегда даёт $x = 3$. Нужно, чтобы суммарно было ровно три различных $x$.
Шаг 5
Проверяем условия $x \le 3$:
- $x_1 = \frac{3}{a} \le 3 \Rightarrow a \ge 1$.
- $x_2 = \sqrt{\frac{3}{a}} \le 3 \Rightarrow \frac{3}{a} \le 9 \Rightarrow a \ge \frac{1}{3}$.
- $x_3 = -\sqrt{\frac{3}{a}}$ всегда $< 3$.
- $x_1 = \frac{3}{a} \le 3 \Rightarrow a \ge 1$.
- $x_2 = \sqrt{\frac{3}{a}} \le 3 \Rightarrow \frac{3}{a} \le 9 \Rightarrow a \ge \frac{1}{3}$.
- $x_3 = -\sqrt{\frac{3}{a}}$ всегда $< 3$.
Шаг 6
Проверяем совпадения решений:
- $x_1 = x_2$ при $a = 3$.
- $x_1 = x_3$ невозможно ($x_1 > 0$, $x_3 < 0$).
- $x_2 = x_3$ невозможно.
- Совпадение с $x = 3$: $x_1 = 3$ при $a = 1$, $x_2 = 3$ при $a = \frac{1}{3}$, $x_3 = 3$ невозможно.
- $x_1 = x_2$ при $a = 3$.
- $x_1 = x_3$ невозможно ($x_1 > 0$, $x_3 < 0$).
- $x_2 = x_3$ невозможно.
- Совпадение с $x = 3$: $x_1 = 3$ при $a = 1$, $x_2 = 3$ при $a = \frac{1}{3}$, $x_3 = 3$ невозможно.
Шаг 7
Подсчёт количества различных решений в зависимости от $a > 0$:
1) $0 < a < \frac{1}{3}$: $x_2 > 3$, $x_1 > 3$, подходит только $x_3$. Случай A даёт $x = 3$. Всего 2 решения.
2) $a = \frac{1}{3}$: $x_1 = 9$ (не подходит), $x_2 = 3$ (совпадает со случаем A), $x_3 = -3$. Всего 2 решения.
3) $\frac{1}{3} < a < 1$: $x_1 > 3$ (не подходит), $x_2$ и $x_3$ подходят. Случай A даёт $x = 3$. Всего 3 решения.
4) $a = 1$: $x_1 = 3$ (совпадает со случаем A), $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$. Всего 3 решения.
5) $1 < a < 3$: $x_1$, $x_2$, $x_3$ все подходят ($< 3$). Случай A даёт $x = 3$. Всего 4 решения.
6) $a = 3$: $x_1 = 1$, $x_2 = 1$ (совпадают), $x_3 = -1$. Случай A даёт $x = 3$. Всего 3 решения.
7) $a > 3$: $x_1$, $x_2$, $x_3$ все подходят. Случай A даёт $x = 3$. Всего 4 решения.
1) $0 < a < \frac{1}{3}$: $x_2 > 3$, $x_1 > 3$, подходит только $x_3$. Случай A даёт $x = 3$. Всего 2 решения.
2) $a = \frac{1}{3}$: $x_1 = 9$ (не подходит), $x_2 = 3$ (совпадает со случаем A), $x_3 = -3$. Всего 2 решения.
3) $\frac{1}{3} < a < 1$: $x_1 > 3$ (не подходит), $x_2$ и $x_3$ подходят. Случай A даёт $x = 3$. Всего 3 решения.
4) $a = 1$: $x_1 = 3$ (совпадает со случаем A), $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$. Всего 3 решения.
5) $1 < a < 3$: $x_1$, $x_2$, $x_3$ все подходят ($< 3$). Случай A даёт $x = 3$. Всего 4 решения.
6) $a = 3$: $x_1 = 1$, $x_2 = 1$ (совпадают), $x_3 = -1$. Случай A даёт $x = 3$. Всего 3 решения.
7) $a > 3$: $x_1$, $x_2$, $x_3$ все подходят. Случай A даёт $x = 3$. Всего 4 решения.
Результат:
система имеет ровно три различных решения при $\frac{1}{3} < a < 1$, $a = 1$, $a = 3$.
Окончательный ответ:
$\left( \frac{1}{3}, 1 \right] \cup \{3\}$