Шаг 1
Начальный долг $D_0 = 1000000$ рублей. По условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг уменьшается на 40000 рублей. Поэтому долг на 15-е число $k$-го месяца: $D_k = 1000000 - 40000k$.
Шаг 2
15-го числа $n$-го месяца долг равен 200000 рублей. Решаем уравнение: $1000000 - 40000n = 200000$, откуда $40000n = 800000$ и $n = 20$.
Шаг 3
Рассмотрим выплаты. На 1-е число каждого месяца долг увеличивается на $r\%$. Выплата в месяце $k$ (для $k = 1, 2, ..., 20$) состоит из двух частей: фиксированной части 40000 рублей (уменьшение долга) и процентов на остаток долга за предыдущий месяц, который равен $D_{k-1}$. Таким образом, выплата в месяце $k$: $40000 + \frac{r}{100} \cdot D_{k-1}$.
Шаг 4
Сумма фиксированных частей за 20 месяцев: $20 \times 40000 = 800000$ рублей. Сумма процентных выплат за эти месяцы: $\frac{r}{100} \sum_{k=0}^{19} D_k = \frac{r}{100} \sum_{k=0}^{19} (1000000 - 40000k)$.
Вычисляем сумму: $\sum_{k=0}^{19} (1000000 - 40000k) = 20 \times 1000000 - 40000 \sum_{k=0}^{19} k = 20000000 - 40000 \times \frac{19 \times 20}{2} = 20000000 - 40000 \times 190 = 20000000 - 7600000 = 12400000$.
Таким образом, сумма процентных выплат за первые 20 месяцев: $\frac{r}{100} \times 12400000 = 124000r$ рублей.
Вычисляем сумму: $\sum_{k=0}^{19} (1000000 - 40000k) = 20 \times 1000000 - 40000 \sum_{k=0}^{19} k = 20000000 - 40000 \times \frac{19 \times 20}{2} = 20000000 - 40000 \times 190 = 20000000 - 7600000 = 12400000$.
Таким образом, сумма процентных выплат за первые 20 месяцев: $\frac{r}{100} \times 12400000 = 124000r$ рублей.
Шаг 5
В 21-м месяце (последнем) долг на начало равен $D_{20} = 200000$ рублей. После начисления процентов его нужно погасить полностью. Выплата в 21-м месяце: $200000 \times \left(1 + \frac{r}{100}\right) = 200000 + 2000r$ рублей.
Шаг 6
Общая сумма всех выплат: $800000 + 124000r + 200000 + 2000r = 1000000 + 126000r$ рублей. По условию она равна 1378000 рублей.
Шаг 7
Составляем уравнение: $1000000 + 126000r = 1378000$. Отсюда $126000r = 378000$ и $r = 3$.
Окончательный ответ:
3