Шаг 1
Упростим уравнение.
Дано: $4^{x} + (a-6)2^{x} = (2+3|a|)2^{x} + (a-6)(3|a|+2)$.
Перенесём всё в одну сторону:
$4^{x} + (a-6)2^{x} - (3|a|+2)2^{x} - (a-6)(3|a|+2) = 0$.
Сгруппируем слагаемые с $2^{x}$:
$4^{x} + 2^{x}\left[(a-6) - (3|a|+2)\right] - (a-6)(3|a|+2) = 0$.
Упростим коэффициент: $(a-6) - (3|a|+2) = a - 8 - 3|a|$.
Дано: $4^{x} + (a-6)2^{x} = (2+3|a|)2^{x} + (a-6)(3|a|+2)$.
Перенесём всё в одну сторону:
$4^{x} + (a-6)2^{x} - (3|a|+2)2^{x} - (a-6)(3|a|+2) = 0$.
Сгруппируем слагаемые с $2^{x}$:
$4^{x} + 2^{x}\left[(a-6) - (3|a|+2)\right] - (a-6)(3|a|+2) = 0$.
Упростим коэффициент: $(a-6) - (3|a|+2) = a - 8 - 3|a|$.
Результат:
$4^{x} + 2^{x}(a - 8 - 3|a|) - (a-6)(3|a|+2) = 0$.
Шаг 2
Замена $t = 2^{x} > 0$, тогда $4^{x} = t^{2}$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^{2} + (a - 8 - 3|a|)t - (a-6)(3|a|+2) = 0$, $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^{2} + (a - 8 - 3|a|)t - (a-6)(3|a|+2) = 0$, $t > 0$.
Шаг 3
Исходное уравнение имеет единственное решение, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень $t > 0$ (второй либо $t \le 0$, либо совпадает с первым и $t > 0$).
Шаг 4
Рассмотрим случаи по знаку $a$.
Случай $a \ge 0$: $|a| = a$.
Уравнение: $t^{2} + (-2a - 8)t - (a-6)(3a+2) = 0$.
Дискриминант: $D = (-2a - 8)^{2} + 4(a-6)(3a+2) = 16(a-1)^{2}$.
Корни: $t_{1,2} = \frac{2a+8 \pm 4|a-1|}{2} = a+4 \pm 2|a-1|$.
- При $a > 1$: $|a-1| = a-1$, тогда $t_{1} = 3a+2$, $t_{2} = 6-a$.
$t_{1} > 0$ всегда. Условие единственности: $t_{2} \le 0 \Rightarrow a \ge 6$.
При $a=6$: $t_{2}=0$ (не входит в $t>0$), один корень $t_{1}=20$.
Итак, $a \ge 6$ подходит.
- При $0 \le a < 1$: $|a-1| = 1-a$, тогда $t_{1} = 6-a$, $t_{2} = 3a+2$.
Оба корня положительны — два решения, не подходит.
- При $a = 1$: $D=0$, $t = 5 > 0$ — один корень (кратный), подходит.
Случай $a < 0$: $|a| = -a$.
Уравнение: $t^{2} + (4a-8)t + (3a^{2} - 20a + 12) = 0$.
Дискриминант: $D = (4a-8)^{2} - 4(3a^{2} - 20a + 12) = 4(a+2)^{2}$.
Корни: $t_{1,2} = \frac{-4a+8 \pm 2|a+2|}{2} = -2a+4 \pm |a+2|$.
- При $a < -2$: $|a+2| = -a-2$, тогда $t_{1} = -3a+2$, $t_{2} = -a+6$.
Оба положительны — два решения, не подходит.
- При $-2 < a < 0$: $|a+2| = a+2$, тогда $t_{1} = -a+6$, $t_{2} = -3a+2$.
Оба положительны — два решения, не подходит.
- При $a = -2$: $D=0$, $t = 8 > 0$ — один корень (кратный), подходит.
Случай $a \ge 0$: $|a| = a$.
Уравнение: $t^{2} + (-2a - 8)t - (a-6)(3a+2) = 0$.
Дискриминант: $D = (-2a - 8)^{2} + 4(a-6)(3a+2) = 16(a-1)^{2}$.
Корни: $t_{1,2} = \frac{2a+8 \pm 4|a-1|}{2} = a+4 \pm 2|a-1|$.
- При $a > 1$: $|a-1| = a-1$, тогда $t_{1} = 3a+2$, $t_{2} = 6-a$.
$t_{1} > 0$ всегда. Условие единственности: $t_{2} \le 0 \Rightarrow a \ge 6$.
При $a=6$: $t_{2}=0$ (не входит в $t>0$), один корень $t_{1}=20$.
Итак, $a \ge 6$ подходит.
- При $0 \le a < 1$: $|a-1| = 1-a$, тогда $t_{1} = 6-a$, $t_{2} = 3a+2$.
Оба корня положительны — два решения, не подходит.
- При $a = 1$: $D=0$, $t = 5 > 0$ — один корень (кратный), подходит.
Случай $a < 0$: $|a| = -a$.
Уравнение: $t^{2} + (4a-8)t + (3a^{2} - 20a + 12) = 0$.
Дискриминант: $D = (4a-8)^{2} - 4(3a^{2} - 20a + 12) = 4(a+2)^{2}$.
Корни: $t_{1,2} = \frac{-4a+8 \pm 2|a+2|}{2} = -2a+4 \pm |a+2|$.
- При $a < -2$: $|a+2| = -a-2$, тогда $t_{1} = -3a+2$, $t_{2} = -a+6$.
Оба положительны — два решения, не подходит.
- При $-2 < a < 0$: $|a+2| = a+2$, тогда $t_{1} = -a+6$, $t_{2} = -3a+2$.
Оба положительны — два решения, не подходит.
- При $a = -2$: $D=0$, $t = 8 > 0$ — один корень (кратный), подходит.
Шаг 5
Объединяем найденные значения.
Из $a \ge 0$: $a=1$ и $a \ge 6$.
Из $a < 0$: $a=-2$.
Из $a \ge 0$: $a=1$ и $a \ge 6$.
Из $a < 0$: $a=-2$.
Окончательный ответ:
$\{-2,\ 1\} \cup [6,\ +\infty)$.