Шаг 1
Приведем уравнение к удобному виду.
Исходное уравнение: $8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos^2 x} = 63$.
Заметим: $16^{\sin^2 x} = (4^2)^{\sin^2 x} = 4^{2\sin^2 x}$, а $4^{\cos^2 x} = 4^{1 - \sin^2 x}$.
Пусть $y = 4^{\sin^2 x}$, тогда $4^{2\sin^2 x} = y^2$ и $4^{\cos^2 x} = \frac{4}{y}$.
Подставляем: $8y^2 - 2 \cdot \frac{4}{y} = 63$.
Исходное уравнение: $8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos^2 x} = 63$.
Заметим: $16^{\sin^2 x} = (4^2)^{\sin^2 x} = 4^{2\sin^2 x}$, а $4^{\cos^2 x} = 4^{1 - \sin^2 x}$.
Пусть $y = 4^{\sin^2 x}$, тогда $4^{2\sin^2 x} = y^2$ и $4^{\cos^2 x} = \frac{4}{y}$.
Подставляем: $8y^2 - 2 \cdot \frac{4}{y} = 63$.
Результат:
$8y^2 - \frac{8}{y} = 63$.
Шаг 2
Умножим на $y \neq 0$: $8y^3 - 8 = 63y$ $\Rightarrow$ $8y^3 - 63y - 8 = 0$.
Кубическое уравнение имеет три вещественных корня. Поскольку $y = 4^{\sin^2 x} > 0$ и $\sin^2 x \in [0,1]$, то $y \in [1,4]$.
Подбором находим единственный подходящий корень в этом интервале: $y \approx 2.8675$.
Кубическое уравнение имеет три вещественных корня. Поскольку $y = 4^{\sin^2 x} > 0$ и $\sin^2 x \in [0,1]$, то $y \in [1,4]$.
Подбором находим единственный подходящий корень в этом интервале: $y \approx 2.8675$.
Шаг 3
Возвращаемся к $y = 4^{\sin^2 x}$:
$4^{\sin^2 x} \approx 2.8675$ $\Rightarrow$ $2^{2\sin^2 x} \approx 2.8675$ $\Rightarrow$ $2\sin^2 x \approx \log_2 2.8675 \approx 1.5198$.
Отсюда $\sin^2 x \approx 0.7599$ $\Rightarrow$ $\sin x = \pm \sqrt{0.7599} \approx \pm 0.8718$.
Общее решение: $x = \pm \arcsin\left(\sqrt{0.7599}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$ (или $x \approx \pm 1.0553 + \pi n$).
$4^{\sin^2 x} \approx 2.8675$ $\Rightarrow$ $2^{2\sin^2 x} \approx 2.8675$ $\Rightarrow$ $2\sin^2 x \approx \log_2 2.8675 \approx 1.5198$.
Отсюда $\sin^2 x \approx 0.7599$ $\Rightarrow$ $\sin x = \pm \sqrt{0.7599} \approx \pm 0.8718$.
Общее решение: $x = \pm \arcsin\left(\sqrt{0.7599}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$ (или $x \approx \pm 1.0553 + \pi n$).
Шаг 4
Отберем корни на отрезке $\left[\frac{7\pi}{2}, 5\pi\right]$.
Границы: $\frac{7\pi}{2} \approx 10.9956$, $5\pi \approx 15.708$.
Для $x = 1.0553 + \pi n$:
$n = 4$: $1.0553 + 4\pi \approx 13.6217 \in [10.9956, 15.708]$.
Для $x = -1.0553 + \pi n$:
$n = 4$: $-1.0553 + 4\pi \approx 11.5111 \in [10.9956, 15.708]$,
$n = 5$: $-1.0553 + 5\pi \approx 14.6527 \in [10.9956, 15.708]$.
Границы: $\frac{7\pi}{2} \approx 10.9956$, $5\pi \approx 15.708$.
Для $x = 1.0553 + \pi n$:
$n = 4$: $1.0553 + 4\pi \approx 13.6217 \in [10.9956, 15.708]$.
Для $x = -1.0553 + \pi n$:
$n = 4$: $-1.0553 + 4\pi \approx 11.5111 \in [10.9956, 15.708]$,
$n = 5$: $-1.0553 + 5\pi \approx 14.6527 \in [10.9956, 15.708]$.
Окончательный ответ: