Шаг 1
Найдём область определения (ОДЗ).
Логарифмы определены при положительных основаниях, не равных 1, и положительных аргументах:
- Основание: $x+7>0$ и $x+7 \ne 1$ $\Rightarrow$ $x>-7$ и $x \ne -6$.
- Аргумент левой части: $x^2>0$ $\Rightarrow$ $x \ne 0$.
- Аргумент правой части: $(x+7)^2>0$ $\Rightarrow$ $x \ne -7$.
Объединяя условия: ОДЗ: $x \in (-7,-6) \cup (-6,0) \cup (0,+\infty)$.
Логарифмы определены при положительных основаниях, не равных 1, и положительных аргументах:
- Основание: $x+7>0$ и $x+7 \ne 1$ $\Rightarrow$ $x>-7$ и $x \ne -6$.
- Аргумент левой части: $x^2>0$ $\Rightarrow$ $x \ne 0$.
- Аргумент правой части: $(x+7)^2>0$ $\Rightarrow$ $x \ne -7$.
Объединяя условия: ОДЗ: $x \in (-7,-6) \cup (-6,0) \cup (0,+\infty)$.
Шаг 2
Упростим неравенство.
Заметим: $x^2+14x+49 = (x+7)^2$.
Тогда правая часть: $\log_{x+7}((x+7)^2) = 2$ (на ОДЗ).
Левая часть: $x^2 \log_{x+7}(x+7) = x^2 \cdot 1 = x^2$ (на ОДЗ).
Исходное неравенство эквивалентно: $x^2 \le 2$ на ОДЗ.
Заметим: $x^2+14x+49 = (x+7)^2$.
Тогда правая часть: $\log_{x+7}((x+7)^2) = 2$ (на ОДЗ).
Левая часть: $x^2 \log_{x+7}(x+7) = x^2 \cdot 1 = x^2$ (на ОДЗ).
Исходное неравенство эквивалентно: $x^2 \le 2$ на ОДЗ.
Шаг 3
Решим $x^2 \le 2$: $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.
Пересечём с ОДЗ:
- $(-7,-6) \cap [-\sqrt{2},\sqrt{2}] = \varnothing$, так как $-\sqrt{2} \approx -1.414 > -6$.
- $(-6,0) \cap [-\sqrt{2},\sqrt{2}] = [-\sqrt{2}, 0)$.
- $(0,+\infty) \cap [-\sqrt{2},\sqrt{2}] = (0, \sqrt{2}]$.
Объединяя: $x \in [-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}]$.
Точки $x = \pm\sqrt{2}$ входят, так как при них выполняется равенство.
Пересечём с ОДЗ:
- $(-7,-6) \cap [-\sqrt{2},\sqrt{2}] = \varnothing$, так как $-\sqrt{2} \approx -1.414 > -6$.
- $(-6,0) \cap [-\sqrt{2},\sqrt{2}] = [-\sqrt{2}, 0)$.
- $(0,+\infty) \cap [-\sqrt{2},\sqrt{2}] = (0, \sqrt{2}]$.
Объединяя: $x \in [-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}]$.
Точки $x = \pm\sqrt{2}$ входят, так как при них выполняется равенство.
Окончательный ответ:
$[-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}]$ (или $[-1.41, 0) \cup (0, 1.41]$).