Шаг 1
Найдём ОДЗ.
Логарифмы определены при $x > 0$. Знаменатель $\log_8 x^2$ не должен быть равен нулю: $\log_8 x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$ (так как $x>0$). Также при упрощении будем делить на $\log_8 x$, поэтому $x \neq 1$.
Логарифмы определены при $x > 0$. Знаменатель $\log_8 x^2$ не должен быть равен нулю: $\log_8 x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$ (так как $x>0$). Также при упрощении будем делить на $\log_8 x$, поэтому $x \neq 1$.
Результат:
ОДЗ: $x \in (0,1) \cup (1, +\infty)$.
Шаг 2
Упростим левую часть.
$\log_8 x^2 = 2 \log_8 x$ (так как $x>0$). Тогда:
ЛН = $\frac{\log_8 x \cdot \log_8 \left( \frac{x}{64} \right)}{2 \log_8 x} = \frac{\log_8 \left( \frac{x}{64} \right)}{2}$.
$\log_8 \left( \frac{x}{64} \right) = \log_8 x - \log_8 64 = \log_8 x - 2$.
Итак, ЛН = $\frac{\log_8 x - 2}{2}$.
$\log_8 x^2 = 2 \log_8 x$ (так как $x>0$). Тогда:
ЛН = $\frac{\log_8 x \cdot \log_8 \left( \frac{x}{64} \right)}{2 \log_8 x} = \frac{\log_8 \left( \frac{x}{64} \right)}{2}$.
$\log_8 \left( \frac{x}{64} \right) = \log_8 x - \log_8 64 = \log_8 x - 2$.
Итак, ЛН = $\frac{\log_8 x - 2}{2}$.
Шаг 3
Упростим правую часть.
$\log_8 (2x) = \log_8 2 + \log_8 x = \frac{1}{3} + \log_8 x$, так как $\log_8 2 = \frac{1}{\log_2 8} = \frac{1}{3}$.
$\log_8 x^2 = 2 \log_8 x$.
ПН = $2 \log_8 x + 3 \left( \frac{1}{3} + \log_8 x \right) - 2 \log_8 x = 3 \log_8 x + 1$.
$\log_8 (2x) = \log_8 2 + \log_8 x = \frac{1}{3} + \log_8 x$, так как $\log_8 2 = \frac{1}{\log_2 8} = \frac{1}{3}$.
$\log_8 x^2 = 2 \log_8 x$.
ПН = $2 \log_8 x + 3 \left( \frac{1}{3} + \log_8 x \right) - 2 \log_8 x = 3 \log_8 x + 1$.
Шаг 4
Получаем неравенство:
$\frac{\log_8 x - 2}{2} \ge 3 \log_8 x + 1$.
Пусть $t = \log_8 x$, $t \neq 0$. Тогда:
$\frac{t - 2}{2} \ge 3t + 1 \Rightarrow t - 2 \ge 6t + 2 \Rightarrow -5t \ge 4 \Rightarrow t \le -\frac{4}{5}$.
Значит, $\log_8 x \le -\frac{4}{5}$.
$\frac{\log_8 x - 2}{2} \ge 3 \log_8 x + 1$.
Пусть $t = \log_8 x$, $t \neq 0$. Тогда:
$\frac{t - 2}{2} \ge 3t + 1 \Rightarrow t - 2 \ge 6t + 2 \Rightarrow -5t \ge 4 \Rightarrow t \le -\frac{4}{5}$.
Значит, $\log_8 x \le -\frac{4}{5}$.
Шаг 5
Решаем $\log_8 x \le -\frac{4}{5}$.
Функция $\log_8 x$ возрастает, поэтому $x \le 8^{-4/5}$.
С учётом ОДЗ ($x>0$, $x \neq 1$) получаем $0 < x \le 8^{-4/5}$. Точка $x=1$ не входит, так как $8^{-4/5} < 1$.
Функция $\log_8 x$ возрастает, поэтому $x \le 8^{-4/5}$.
С учётом ОДЗ ($x>0$, $x \neq 1$) получаем $0 < x \le 8^{-4/5}$. Точка $x=1$ не входит, так как $8^{-4/5} < 1$.
Результат:
$x \in (0, 8^{-4/5}]$.
Окончательный ответ:
$(0, 8^{-4/5}]$