Шаг 1
Определяем область допустимых значений.
Выражение $\log_2 x^2$ требует $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$.
Выражение $\log_6(2x^2 - 10x + 12.5)$ требует $2x^2 - 10x + 12.5 > 0$. Заметим, что $2x^2 - 10x + 12.5 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2$, поэтому условие $2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 > 0$ даёт $x \neq 2.5$.
Выражение $\log_2 x^2$ требует $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$.
Выражение $\log_6(2x^2 - 10x + 12.5)$ требует $2x^2 - 10x + 12.5 > 0$. Заметим, что $2x^2 - 10x + 12.5 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2$, поэтому условие $2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 > 0$ даёт $x \neq 2.5$.
Результат:
$x \neq 0$ и $x \neq 2.5$.
Шаг 2
Анализируем знаменатель.
Знаменатель имеет вид $\log^2_6\left(2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2\right) + 1$. Квадрат логарифма всегда неотрицателен, поэтому всё выражение строго больше нуля при всех допустимых $x$.
Знаменатель имеет вид $\log^2_6\left(2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2\right) + 1$. Квадрат логарифма всегда неотрицателен, поэтому всё выражение строго больше нуля при всех допустимых $x$.
Результат:
Знак всей дроби определяется знаком числителя.
Шаг 3
Упрощаем числитель.
Числитель: $\log_2(x^2) - \log_3(x^2)$. Используем формулу $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$.
Получаем: $\log_2(x^2) - \log_3(x^2) = \frac{\ln(x^2)}{\ln 2} - \frac{\ln(x^2)}{\ln 3} = \ln(x^2) \left( \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 3} \right)$.
Поскольку $\ln 2 < \ln 3$, разность $\frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 3} > 0$ — положительная константа.
Числитель: $\log_2(x^2) - \log_3(x^2)$. Используем формулу $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$.
Получаем: $\log_2(x^2) - \log_3(x^2) = \frac{\ln(x^2)}{\ln 2} - \frac{\ln(x^2)}{\ln 3} = \ln(x^2) \left( \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 3} \right)$.
Поскольку $\ln 2 < \ln 3$, разность $\frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 3} > 0$ — положительная константа.
Результат:
Знак числителя совпадает со знаком $\ln(x^2)$.
Шаг 4
Решаем неравенство.
Исходное неравенство $\frac{\log_2(x^2) - \log_3(x^2)}{\log^2_6(2x^2 - 10x + 12.5) + 1} \geq 0$ сводится к $\ln(x^2) \geq 0$.
Это равносильно $x^2 \geq 1$, то есть $|x| \geq 1$.
Исходное неравенство $\frac{\log_2(x^2) - \log_3(x^2)}{\log^2_6(2x^2 - 10x + 12.5) + 1} \geq 0$ сводится к $\ln(x^2) \geq 0$.
Это равносильно $x^2 \geq 1$, то есть $|x| \geq 1$.
Результат:
$x \leq -1$ или $x \geq 1$.
Шаг 5
Учитываем область определения.
Из $x \leq -1$ или $x \geq 1$ исключаем точки, не входящие в ОДЗ: $x \neq 0$ (уже исключено) и $x \neq 2.5$.
Точка $2.5$ попадает в промежуток $x \geq 1$, поэтому её нужно выколоть.
Из $x \leq -1$ или $x \geq 1$ исключаем точки, не входящие в ОДЗ: $x \neq 0$ (уже исключено) и $x \neq 2.5$.
Точка $2.5$ попадает в промежуток $x \geq 1$, поэтому её нужно выколоть.
Результат:
$x \in (-\infty, -1] \cup \left\{ x \in [1, \infty) : x \neq 2.5 \right\}$.
Окончательный ответ:
$x \in (-\infty, -1] \cup \left\{ x \in [1, \infty) : x \neq 2.5 \right\}$