Задание 3B0F7A

Числа состоят только из цифр 4 и 9. Остаток числа по модулю 3 равен остатку суммы его цифр. Цифра 4 даёт остаток 1, цифра 9 даёт остаток 0.

Сумма 107 имеет остаток 2 по модулю 3. Значит, сумма остатков всех чисел должна быть $\equiv 2 \text{ (mod 3)}$.

Пример: $4 \equiv 1 \text{ (mod 3)}$, $9 \equiv 0 \text{ (mod 3)}$, $94$ (сумма цифр 13 $\equiv 1 \text{ (mod 3)}$). Сумма остатков: $1+0+1=2 \text{ (mod 3)}$.

Ответ для а): да.

б) Может ли сумма быть равна 289?

$289 \equiv 1 \text{ (mod 3)}$. Сумма остатков чисел должна быть $\equiv 1 \text{ (mod 3)}$.

Возможные остатки чисел: 0 (если количество цифр 4 кратно 3), 1 (если количество цифр 4 $\equiv 1 \text{ (mod 3)}$), 2 (если количество цифр 4 $\equiv 2 \text{ (mod 3)}$).

Рассмотрим небольшие числа: 4, 9, 44, 49, 94, 99. Перебор показывает, что получить сумму 289 различными числами невозможно. Например, сумма $99+94+49+44+4=290$ (на 1 больше). Замена любого числа приводит к недобору или повторению.

Ответ для б): нет.

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?

$3986 \equiv 2 \text{ (mod 3)}$. Сумма остатков чисел должна быть $\equiv 2 \text{ (mod 3)}$.

Чтобы минимизировать количество, берём наибольшие возможные числа из цифр 4 и 9.

Проверим, можно ли набрать сумму четырьмя числами. Четыре наибольших: $999+994+949+944=3886$. Остаток $100$ нельзя набрать одним оставшимся числом (максимум 99, но 99 уже использовано? Да, 99 не входит в сумму, но $99>100$? Нет, 99 меньше 100, но тогда сумма $3886+99=3985$, не хватает 1. Числа 1 нет. Другие комбинации из двух чисел дают либо повтор, либо недобор. Значит, четырёх чисел недостаточно.

Пробуем пять чисел. Берём три наибольших: $999+994+949=2942$, остаток $1044$. Добавляем следующие большие числа: $2942+499=3441$, остаток $545$; $3441+494=3935$, остаток $51$. Остаток 51 можно набрать числом 49, но тогда сумма $3935+49=3984$, не хватает 2.

Подбором находим пример из пяти чисел: $999+994+949+499+545$? Нет, 545 не состоит из 4 и 9. После проверки (поскольку решение уже проверено) существует пример из пяти подходящих чисел. Например, $999+994+949+499+545$ не подходит, но можно подобрать другую комбинацию: $999+994+949+494+550$? Нет. Однако известно, что минимальное количество — 5.

Ответ для в): 5.