Задание 42FC71

Анализ первого уравнения.
Уравнение: $(xy - 2x + 12) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0$. Корень определён при $y - 2x + 12 \ge 0$.
Произведение равно нулю, если:
1) $\sqrt{y - 2x + 12} = 0 \Rightarrow y - 2x + 12 = 0$,
2) $xy - 2x + 12 = 0$.
Исходная система равносильна совокупности двух систем при условии $y - 2x + 12 \ge 0$:
Система I: $y - 2x + 12 = 0$ и $y = ax - 10$.
Система II: $xy - 2x + 12 = 0$, $y = ax - 10$ и $y - 2x + 12 \ge 0$.

Решение системы I.
Подставляем $y = 2x - 12$ в $y = ax - 10$: $2x - 12 = ax - 10 \Rightarrow x(2-a) = 2$.
Если $a = 2$, то $0=2$ — решений нет.
Если $a \ne 2$, то $x = \frac{2}{2-a}$, $y = 2 \cdot \frac{2}{2-a} - 12$. Условие $y - 2x + 12 = 0$ выполнено.

Решение системы II.
Подставляем $y = ax - 10$ в $xy - 2x + 12 = 0$:
$x(ax - 10) - 2x + 12 = 0 \Rightarrow ax^2 - 12x + 12 = 0$.
Если $a = 0$, то $-12x + 12 = 0 \Rightarrow x = 1$, $y = -10$. Проверяем условие $y - 2x + 12 = -10 - 2 + 12 = 0 \ge 0$ — подходит.
Если $a \ne 0$, квадратное уравнение $ax^2 - 12x + 12 = 0$. Дискриминант $D = 144 - 48a = 48(3-a)$.
- $D < 0$ при $a > 3$ — корней нет.
- $D = 0$ при $a = 3$: $3x^2 - 12x + 12 = 0 \Rightarrow x = 2$, $y = -4$. Условие: $-4 - 4 + 12 = 4 \ge 0$ — подходит.
- $D > 0$ при $a < 3$, $a \ne 0$: два корня $x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3(3-a)}}{a}$.
Для каждого корня нужно проверить условие $y - 2x + 12 \ge 0$, где $y = ax - 10$, то есть $(a-2)x + 2 \ge 0$.

Пересечение решений систем I и II.
Решение системы I удовлетворяет системе II, если $y = 2x - 12$ и $xy - 2x + 12 = 0$.
Подставляем: $x(2x-12) - 2x + 12 = 2x^2 - 14x + 12 = 0 \Rightarrow x = 1$ или $x = 6$.
При $x=1$: $y = -10$, тогда $y = ax - 10$ даёт $a = 0$.
При $x=6$: $y = 0$, тогда $0 = 6a - 10 \Rightarrow a = \frac{5}{3}$.
Значит, при $a=0$ и $a=\frac{5}{3}$ решения систем I и II совпадают (одна общая точка).

Проверка условия $(a-2)x + 2 \ge 0$ для корней системы II при $a < 3$, $a \ne 0$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3(3-a)}}{a}$. Введём $t = \sqrt{3(3-a)} \ge 0$, тогда $a = 3 - \frac{t^2}{3}$.
Корни упрощаются: $x_1 = \frac{6}{3-t}$, $x_2 = \frac{6}{3+t}$ (при $t \ne 3$, т.е. $a \ne 0$).
Условие: $(a-2)x + 2 = \frac{3-t^2}{3} \cdot x + 2$.
Для $x_1$: $\frac{2(6 - t - t^2)}{3-t}$.
Для $x_2$: $\frac{2(6 + t - t^2)}{3+t}$.
Анализ знаков:
- При $0 < t < 2$ (т.е. $a > \frac{5}{3}$, $a \ne 2,3$): оба выражения положительны — оба корня подходят.
- При $t = 2$ ($a = \frac{5}{3}$): оба подходят (уже учтено пересечение).
- При $2 < t < 3$ (т.е. $0 < a < \frac{5}{3}$): для $x_1$ выражение отрицательно, для $x_2$ положительно — подходит только $x_2$.
- При $t > 3$ (т.е. $a < 0$): для $x_1$ положительно, для $x_2$ отрицательно — подходит только $x_1$.
- При $t = 3$ ($a = 0$): один корень (линейный случай).
- При $a = 2$: условие $(2-2)x + 2 = 2 \ge 0$ всегда верно, оба корня подходят.

Количество решений в зависимости от $a$.
Обозначим: $n_1$ — число решений системы I (0 при $a=2$, иначе 1).
$n_2$ — число решений системы II (см. анализ выше).
$n_c$ — число общих решений (1 при $a=0$ или $a=\frac{5}{3}$, иначе 0).
Общее число решений $N = n_1 + n_2 - n_c$.

Сводка:
- $a > 3$: $n_1=1$, $n_2=0$, $N=1$.
- $a = 3$: $n_1=1$, $n_2=1$, $N=2$.
- $\frac{5}{3} < a < 3$, $a \ne 2$: $n_1=1$, $n_2=2$, $N=3$.
- $a = \frac{5}{3}$: $n_1=1$, $n_2=2$, $n_c=1$, $N=2$.
- $0 < a < \frac{5}{3}$: $n_1=1$, $n_2=1$, $N=2$.
- $a = 0$: $n_1=1$, $n_2=1$, $n_c=1$, $N=1$.
- $a < 0$: $n_1=1$, $n_2=1$, $N=2$.
- $a = 2$: $n_1=0$, $n_2=2$, $N=2$.

Значения $a$, при которых $N=2$.
$N=2$ при: $a=3$, $a \in (0, \frac{5}{3}]$, $a < 0$, $a=2$.
Исключаем интервал $\frac{5}{3} < a < 3$ (кроме $a=2$), там $N=3$.