Шаг 1
Введем центры оснований: O (нижнее) и O₁ (верхнее). Ось OO₁ вертикальна. По условию отрезок AC₁ пересекает ось цилиндра. Это означает, что его проекция на нижнее основание (отрезок AO) является диаметром окружности.
Результат:
В треугольнике ABC₁, где A и B лежат на нижнем основании, угол ABC₁ опирается на диаметр AO. Следовательно, ∠ABC₁ = 90° (доказано для пункта а).
Шаг 2
Для пункта б: BB₁ — образующая, BB₁ = 15. B₁C₁ = 8 — хорда верхнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁C₁ (∠BB₁C₁ = 90°, так как образующая перпендикулярна основанию). По теореме Пифагора: $BC₁ = \sqrt{BB₁^2 + B₁C₁^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = 17$.
Шаг 3
В треугольнике ABC₁ (∠ABC₁ = 90°) известны катеты: AB = 6, BC₁ = 17. Тогда гипотенуза $AC₁ = \sqrt{6^2 + 17^2} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$.
Шаг 4
Угол $\phi$ между прямой AC₁ и вертикальной прямой BB₁ найдем через синус: $\sin \phi = \frac{BB₁}{AC₁} = \frac{15}{5\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$. Тогда $\phi = \arcsin \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 56.31^\circ$.
Результат:
Угол между BB₁ и AC₁ равен $\arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}$.
Окончательный ответ:
а) 90°, б) $\arcsin \frac{3}{\sqrt{13}} \approx 56.31^\circ$