Шаг 1
Исходный долг $D_0 = 5$ млн рублей. Каждый январь долг увеличивается на $20\%$, то есть умножается на $1.2$.
Шаг 2
По условию, в июле каждого года долг уменьшается на одну и ту же величину $d$. Если $D_k$ — долг в июле года $k$, то $D_{k+1} = D_k - d$.
Шаг 3
В январе года $k+1$ долг становится $1.2D_k$. Выплата $R_k$ за этот год — это разность между долгом в январе и долгом в следующем июле: $R_k = 1.2D_k - (D_k - d) = 0.2D_k + d$.
Шаг 4
Долг уменьшается линейно: $D_k = 5 - kd$ млн рублей. Кредит берётся на $n$ лет, поэтому $D_n = 0$. Отсюда $5 - n d = 0$ и $d = \frac{5}{n}$ млн.
Шаг 5
Общая сумма выплат $S$ — это сумма $R_k$ по всем годам:
$S = \sum_{k=0}^{n-1} \left(0.2(5 - k \cdot \frac{5}{n}) + \frac{5}{n}\right)$.
$S = \sum_{k=0}^{n-1} \left(0.2(5 - k \cdot \frac{5}{n}) + \frac{5}{n}\right)$.
Шаг 6
Упростим сумму:
$S = \sum_{k=0}^{n-1} \left(1 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n}k\right) = n \cdot 1 + n \cdot \frac{5}{n} - \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n-1)}{2}$.
$S = n + 5 - \frac{n-1}{2} = n + 5 - \frac{n}{2} + \frac{1}{2} = \frac{n}{2} + 5.5$ млн рублей.
$S = \sum_{k=0}^{n-1} \left(1 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n}k\right) = n \cdot 1 + n \cdot \frac{5}{n} - \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n-1)}{2}$.
$S = n + 5 - \frac{n-1}{2} = n + 5 - \frac{n}{2} + \frac{1}{2} = \frac{n}{2} + 5.5$ млн рублей.
Шаг 7
По условию $S = 7.5$ млн. Получаем уравнение:
$\frac{n}{2} + 5.5 = 7.5 \Rightarrow \frac{n}{2} = 2 \Rightarrow n = 4$.
$\frac{n}{2} + 5.5 = 7.5 \Rightarrow \frac{n}{2} = 2 \Rightarrow n = 4$.
Окончательный ответ:
4