Шаг 1
Пусть числа по возрастанию: $a_1 < a_2 < \ldots < a_{10}$.
Из условия: сумма шести наименьших $a_1 + \ldots + a_6 = 6 \cdot 5 = 30$, а сумма шести наибольших $a_5 + \ldots + a_{10} = 6 \cdot 15 = 90$.
а) Если $a_1 = 3$, то минимально возможные значения: $a_1=3$, $a_2=4$, $a_3=5$, $a_4=6$, $a_5=7$, $a_6=8$. Их сумма $3+4+5+6+7+8 = 33 > 30$. Противоречие.
Из условия: сумма шести наименьших $a_1 + \ldots + a_6 = 6 \cdot 5 = 30$, а сумма шести наибольших $a_5 + \ldots + a_{10} = 6 \cdot 15 = 90$.
а) Если $a_1 = 3$, то минимально возможные значения: $a_1=3$, $a_2=4$, $a_3=5$, $a_4=6$, $a_5=7$, $a_6=8$. Их сумма $3+4+5+6+7+8 = 33 > 30$. Противоречие.
Результат:
Нет, не может.
Шаг 2
Общая сумма всех десяти чисел:
$S = (a_1+\ldots+a_6) + (a_7+a_8+a_9+a_{10})$.
Но $a_7+a_8+a_9+a_{10} = (a_5+\ldots+a_{10}) - (a_5+a_6) = 90 - (a_5+a_6)$.
Тогда $S = 30 + 90 - (a_5+a_6) = 120 - (a_5+a_6)$.
б) Если среднее всех чисел равно 11, то $S = 110$. Тогда $a_5+a_6 = 120 - 110 = 10$.
Но $a_5$ и $a_6$ — это пятое и шестое числа среди десяти различных натуральных, причём они больше $a_1,\ldots,a_4$. Минимально: $a_5 \geq 6$, $a_6 \geq 7$ (если взять $a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=4, a_5=5, a_6=6$, то их сумма уже $21 > 10$). Значит, $a_5+a_6 \geq 13 > 10$.
$S = (a_1+\ldots+a_6) + (a_7+a_8+a_9+a_{10})$.
Но $a_7+a_8+a_9+a_{10} = (a_5+\ldots+a_{10}) - (a_5+a_6) = 90 - (a_5+a_6)$.
Тогда $S = 30 + 90 - (a_5+a_6) = 120 - (a_5+a_6)$.
б) Если среднее всех чисел равно 11, то $S = 110$. Тогда $a_5+a_6 = 120 - 110 = 10$.
Но $a_5$ и $a_6$ — это пятое и шестое числа среди десяти различных натуральных, причём они больше $a_1,\ldots,a_4$. Минимально: $a_5 \geq 6$, $a_6 \geq 7$ (если взять $a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=4, a_5=5, a_6=6$, то их сумма уже $21 > 10$). Значит, $a_5+a_6 \geq 13 > 10$.
Результат:
Нет, не может.
Шаг 3
Среднее всех чисел: $\frac{S}{10} = \frac{120 - (a_5+a_6)}{10} = 12 - \frac{a_5+a_6}{10}$.
Оно максимально, когда $a_5+a_6$ минимально.
Найдём минимальную возможную сумму $a_5+a_6$ при условиях: $a_1+\ldots+a_6=30$ и все числа натуральные, различные.
Минимальные $a_1,\ldots,a_4$: $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_4=4$, их сумма $10$. Тогда $a_5+a_6 = 30 - 10 = 20$. Но тогда $a_5$ и $a_6$ должны быть больше 4 и различны. Минимальный вариант: $a_5=5$, $a_6=15$ (сумма 20). Проверим сумму шести наибольших: $a_5+\ldots+a_{10} = 90$. При $a_5=5$, $a_6=15$ имеем $a_7+a_8+a_9+a_{10} = 90 - 20 = 70$. Это возможно (например, $a_7=16$, $a_8=17$, $a_9=18$, $a_{10}=19$, сумма 70). Значит, $a_5+a_6$ может быть 20.
Но можно ли уменьшить $a_5+a_6$ дальше? Если увеличить $a_1,\ldots,a_4$, то $a_5+a_6$ уменьшится. Максимально возможная сумма $a_1,\ldots,a_4$ при фиксированной сумме шести чисел 30 достигается, когда $a_5$ и $a_6$ минимальны. Минимальные $a_5$ и $a_6$ при данных $a_1,\ldots,a_4$: $a_5 = a_4+1$, $a_6 = a_5+1$. Пусть $a_4 = x$, тогда $a_5 = x+1$, $a_6 = x+2$. Сумма шести: $a_1+a_2+a_3+x+(x+1)+(x+2)=30$. Минимизируем $a_1+a_2+a_3$: наименьшие различные натуральные: $1,2,3$, их сумма 6. Тогда $6 + x + (x+1) + (x+2) = 30 \Rightarrow 3x+9=30 \Rightarrow 3x=21 \Rightarrow x=7$. Тогда $a_4=7$, $a_5=8$, $a_6=9$, сумма $a_5+a_6=17$. Но это больше, чем 20? Нет, 17 < 20. Проверим: $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_4=7$, $a_5=8$, $a_6=9$ — сумма 30. Тогда $a_5+a_6=17$. Можно ли ещё увеличить $a_1+a_2+a_3$? Если взять $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=4$, сумма $9$, тогда $9 + x+(x+1)+(x+2)=30 \Rightarrow 3x+12=30 \Rightarrow 3x=18 \Rightarrow x=6$. Тогда $a_4=6$, $a_5=7$, $a_6=8$, сумма $a_5+a_6=15$. Это меньше 17. При этом все числа различные, натуральные. Проверим сумму шести наибольших: $a_5+\ldots+a_{10}=90$, значит $a_7+a_8+a_9+a_{10}=90-15=75$, что возможно (например, $a_7=9$, $a_8=10$, $a_9=11$, $a_{10}=45$). Значит, $a_5+a_6$ можно сделать равным 15. Можно ли меньше? Если взять $a_1=3$, $a_2=4$, $a_3=5$, сумма 12, тогда $12+3x+3=30 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow x=5$. Тогда $a_4=5$, $a_5=6$, $a_6=7$, но тогда $a_4$ и $a_3$ совпадают (a_3=5, a_4=5) — нарушение условия различных чисел. Значит, минимальная сумма $a_5+a_6 = 15$ (при $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=4$, $a_4=6$, $a_5=7$, $a_6=8$).
Тогда максимальное среднее: $12 - \frac{15}{10} = 12 - 1.5 = 10.5$.
Оно максимально, когда $a_5+a_6$ минимально.
Найдём минимальную возможную сумму $a_5+a_6$ при условиях: $a_1+\ldots+a_6=30$ и все числа натуральные, различные.
Минимальные $a_1,\ldots,a_4$: $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_4=4$, их сумма $10$. Тогда $a_5+a_6 = 30 - 10 = 20$. Но тогда $a_5$ и $a_6$ должны быть больше 4 и различны. Минимальный вариант: $a_5=5$, $a_6=15$ (сумма 20). Проверим сумму шести наибольших: $a_5+\ldots+a_{10} = 90$. При $a_5=5$, $a_6=15$ имеем $a_7+a_8+a_9+a_{10} = 90 - 20 = 70$. Это возможно (например, $a_7=16$, $a_8=17$, $a_9=18$, $a_{10}=19$, сумма 70). Значит, $a_5+a_6$ может быть 20.
Но можно ли уменьшить $a_5+a_6$ дальше? Если увеличить $a_1,\ldots,a_4$, то $a_5+a_6$ уменьшится. Максимально возможная сумма $a_1,\ldots,a_4$ при фиксированной сумме шести чисел 30 достигается, когда $a_5$ и $a_6$ минимальны. Минимальные $a_5$ и $a_6$ при данных $a_1,\ldots,a_4$: $a_5 = a_4+1$, $a_6 = a_5+1$. Пусть $a_4 = x$, тогда $a_5 = x+1$, $a_6 = x+2$. Сумма шести: $a_1+a_2+a_3+x+(x+1)+(x+2)=30$. Минимизируем $a_1+a_2+a_3$: наименьшие различные натуральные: $1,2,3$, их сумма 6. Тогда $6 + x + (x+1) + (x+2) = 30 \Rightarrow 3x+9=30 \Rightarrow 3x=21 \Rightarrow x=7$. Тогда $a_4=7$, $a_5=8$, $a_6=9$, сумма $a_5+a_6=17$. Но это больше, чем 20? Нет, 17 < 20. Проверим: $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_4=7$, $a_5=8$, $a_6=9$ — сумма 30. Тогда $a_5+a_6=17$. Можно ли ещё увеличить $a_1+a_2+a_3$? Если взять $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=4$, сумма $9$, тогда $9 + x+(x+1)+(x+2)=30 \Rightarrow 3x+12=30 \Rightarrow 3x=18 \Rightarrow x=6$. Тогда $a_4=6$, $a_5=7$, $a_6=8$, сумма $a_5+a_6=15$. Это меньше 17. При этом все числа различные, натуральные. Проверим сумму шести наибольших: $a_5+\ldots+a_{10}=90$, значит $a_7+a_8+a_9+a_{10}=90-15=75$, что возможно (например, $a_7=9$, $a_8=10$, $a_9=11$, $a_{10}=45$). Значит, $a_5+a_6$ можно сделать равным 15. Можно ли меньше? Если взять $a_1=3$, $a_2=4$, $a_3=5$, сумма 12, тогда $12+3x+3=30 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow x=5$. Тогда $a_4=5$, $a_5=6$, $a_6=7$, но тогда $a_4$ и $a_3$ совпадают (a_3=5, a_4=5) — нарушение условия различных чисел. Значит, минимальная сумма $a_5+a_6 = 15$ (при $a_1=2$, $a_2=3$, $a_3=4$, $a_4=6$, $a_5=7$, $a_6=8$).
Тогда максимальное среднее: $12 - \frac{15}{10} = 12 - 1.5 = 10.5$.
Результат:
10.5.
Окончательный ответ:
а) Нет, б) Нет, в) 10.5