Шаг 1
Анализ второго уравнения. $y = \sqrt{x + 4}$ — это верхняя ветвь параболы $y^{2} = x + 4$, определённая при $x \ge -4$, $y \ge 0$. Результат: $y \ge 0$, $x \ge -4$.
Шаг 2
Подстановка в первое уравнение. Так как $y \ge 0$, то $|y| = y = \sqrt{x + 4}$. Получаем уравнение $|x| + \sqrt{x + 4} = a$, где $x \ge -4$. Результат: задача свелась к нахождению количества решений уравнения $|x| + \sqrt{x + 4} = a$ при $x \ge -4$.
Шаг 3
Рассмотрим два случая для $|x|$.
Случай 1: $x \ge 0$. Уравнение: $x + \sqrt{x + 4} = a$. Функция $f_{1}(x) = x + \sqrt{x + 4}$ монотонно возрастает при $x \ge 0$ (производная $1 + \frac{1}{2\sqrt{x+4}} > 0$). Значения: $f_{1}(0) = 2$, $f_{1}(x) \to +\infty$ при $x \to +\infty$. Результат: для каждого $a \ge 2$ существует ровно одно решение $x \ge 0$.
Случай 2: $-4 \le x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение: $-x + \sqrt{x + 4} = a$. Исследуем функцию $f_{2}(x) = -x + \sqrt{x + 4}$ на $[-4, 0)$. Производная: $f_{2}'(x) = -1 + \frac{1}{2\sqrt{x+4}}$. Критическая точка: $\frac{1}{2\sqrt{x+4}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x+4} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{15}{4} = -3.75$.
Вычислим значения:
- $f_{2}(-4) = 4$
- $f_{2}(-3.75) = 3.75 + 0.5 = 4.25$
- $f_{2}(0^{-}) = 2$ (предел, $x=0$ не входит)
Функция $f_{2}$ непрерывна. На $[-4, -3.75]$ она возрастает от $4$ до $4.25$, на $[-3.75, 0)$ убывает от $4.25$ до $2$. Следовательно, $f_{2}(x) \in (2, 4.25]$ для $x \in [-4, 0)$. Результат:
- При $a \in (2, 4.25)$ — два решения (по одному на каждой ветви).
- При $a = 4.25$ — одно решение ($x = -3.75$).
- При $a \le 2$ или $a > 4.25$ — решений нет.
- При $a = 4$ — два решения ($x = -4$ и $x = -3$), что входит в интервал $(2, 4.25)$.
Случай 1: $x \ge 0$. Уравнение: $x + \sqrt{x + 4} = a$. Функция $f_{1}(x) = x + \sqrt{x + 4}$ монотонно возрастает при $x \ge 0$ (производная $1 + \frac{1}{2\sqrt{x+4}} > 0$). Значения: $f_{1}(0) = 2$, $f_{1}(x) \to +\infty$ при $x \to +\infty$. Результат: для каждого $a \ge 2$ существует ровно одно решение $x \ge 0$.
Случай 2: $-4 \le x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение: $-x + \sqrt{x + 4} = a$. Исследуем функцию $f_{2}(x) = -x + \sqrt{x + 4}$ на $[-4, 0)$. Производная: $f_{2}'(x) = -1 + \frac{1}{2\sqrt{x+4}}$. Критическая точка: $\frac{1}{2\sqrt{x+4}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x+4} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{15}{4} = -3.75$.
Вычислим значения:
- $f_{2}(-4) = 4$
- $f_{2}(-3.75) = 3.75 + 0.5 = 4.25$
- $f_{2}(0^{-}) = 2$ (предел, $x=0$ не входит)
Функция $f_{2}$ непрерывна. На $[-4, -3.75]$ она возрастает от $4$ до $4.25$, на $[-3.75, 0)$ убывает от $4.25$ до $2$. Следовательно, $f_{2}(x) \in (2, 4.25]$ для $x \in [-4, 0)$. Результат:
- При $a \in (2, 4.25)$ — два решения (по одному на каждой ветви).
- При $a = 4.25$ — одно решение ($x = -3.75$).
- При $a \le 2$ или $a > 4.25$ — решений нет.
- При $a = 4$ — два решения ($x = -4$ и $x = -3$), что входит в интервал $(2, 4.25)$.
Шаг 4
Объединение случаев. Каждому $x$ соответствует единственный $y$, поэтому количество решений системы равно количеству решений уравнения $|x| + \sqrt{x + 4} = a$ на $x \ge -4$.
- $a < 2$: решений нет.
- $a = 2$: 1 решение из Случая 1 ($x=0$).
- $a \in (2, 4.25)$: 1 решение из Случая 1 и 2 решения из Случая 2, итого 3.
- $a = 4.25$: 1 решение из Случая 1 и 1 решение из Случая 2, итого 2.
- $a > 4.25$: 1 решение из Случая 1.
- $a < 2$: решений нет.
- $a = 2$: 1 решение из Случая 1 ($x=0$).
- $a \in (2, 4.25)$: 1 решение из Случая 1 и 2 решения из Случая 2, итого 3.
- $a = 4.25$: 1 решение из Случая 1 и 1 решение из Случая 2, итого 2.
- $a > 4.25$: 1 решение из Случая 1.
Шаг 5
Условие задачи — ровно два различных решения. Это выполняется только при $a = 4.25$.
Окончательный ответ:
$a = 4.25$