Шаг 1
Окружность с центром $O_1$ касается трёх прямых: $BC$, $AD$ и $AB$. Так как $BC \parallel AD$, расстояние от $O_1$ до этих параллельных прямых одинаково и равно радиусу $r_1$. Поэтому $O_1$ лежит на прямой, равноудалённой от $BC$ и $AD$, то есть на средней линии трапеции.
Шаг 2
Аналогично, окружность с центром $O_2$ касается $BC$, $CD$ и $AD$. Она также равноудалена от параллельных $BC$ и $AD$, поэтому $O_2$ лежит на той же средней линии.
Шаг 3
Средняя линия трапеции параллельна основаниям. Поскольку оба центра лежат на ней, прямая $O_1O_2$ совпадает с частью этой линии, значит $O_1O_2 \parallel BC \parallel AD$. Доказано.
б) Найдём $O_1O_2$.
б) Найдём $O_1O_2$.
Шаг 1
Найдём высоту трапеции. Опустим высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Пусть $AH=x$, $KD=y$, $HK=BC=9$. Тогда $x+9+y=39 \Rightarrow x+y=30$.
Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $CDK$:
$x^2 + h^2 = 10^2 = 100$,
$y^2 + h^2 = 30^2 = 900$.
Вычитая, получаем $y^2 - x^2 = 800 \Rightarrow (y-x)(y+x)=800$. Учитывая $x+y=30$, находим $y-x = \frac{800}{30} = \frac{80}{3}$.
Система: $x+y=30$ и $y-x=\frac{80}{3}$. Решая, получаем $y=\frac{85}{3}$, $x=\frac{5}{3}$.
Из $x^2+h^2=100$ находим $h^2 = 100 - \frac{25}{9} = \frac{875}{9}$, откуда $h = \frac{5\sqrt{35}}{3}$.
Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $CDK$:
$x^2 + h^2 = 10^2 = 100$,
$y^2 + h^2 = 30^2 = 900$.
Вычитая, получаем $y^2 - x^2 = 800 \Rightarrow (y-x)(y+x)=800$. Учитывая $x+y=30$, находим $y-x = \frac{800}{30} = \frac{80}{3}$.
Система: $x+y=30$ и $y-x=\frac{80}{3}$. Решая, получаем $y=\frac{85}{3}$, $x=\frac{5}{3}$.
Из $x^2+h^2=100$ находим $h^2 = 100 - \frac{25}{9} = \frac{875}{9}$, откуда $h = \frac{5\sqrt{35}}{3}$.
Шаг 2
Найдём координаты центра $O_1$. Поместим трапецию в систему координат: $A(0,0)$, $B\left(\frac{5}{3}, h\right)$, $C\left(\frac{32}{3}, h\right)$, $D(39,0)$. Средняя линия: $y = \frac{h}{2}$.
Центр $O_1$ лежит на средней линии, $O_1(m, h/2)$, и равноудалён от $AB$. Расстояние от $O_1$ до прямой $AB$ равно радиусу $r_1 = h/2$.
Уравнение $AB$: $3h x - 5y = 0$. Расстояние от $O_1$ до $AB$:
$\frac{|3h m - 5 \cdot (h/2)|}{\sqrt{(3h)^2 + (-5)^2}} = \frac{h}{2}$.
Подставляем $h^2 = \frac{875}{9}$, откуда $9h^2 = 875$ и $\sqrt{9h^2+25} = \sqrt{900}=30$. Получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 30 = |3m - 5/2| \Rightarrow |3m - 2.5| = 15$.
Из двух решений $m = \frac{35}{6}$ и $m = -\frac{25}{6}$ выбираем точку внутри трапеции: $m = \frac{35}{6}$. Итак, $O_1\left(\frac{35}{6}, \frac{h}{2}\right)$.
Центр $O_1$ лежит на средней линии, $O_1(m, h/2)$, и равноудалён от $AB$. Расстояние от $O_1$ до прямой $AB$ равно радиусу $r_1 = h/2$.
Уравнение $AB$: $3h x - 5y = 0$. Расстояние от $O_1$ до $AB$:
$\frac{|3h m - 5 \cdot (h/2)|}{\sqrt{(3h)^2 + (-5)^2}} = \frac{h}{2}$.
Подставляем $h^2 = \frac{875}{9}$, откуда $9h^2 = 875$ и $\sqrt{9h^2+25} = \sqrt{900}=30$. Получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 30 = |3m - 5/2| \Rightarrow |3m - 2.5| = 15$.
Из двух решений $m = \frac{35}{6}$ и $m = -\frac{25}{6}$ выбираем точку внутри трапеции: $m = \frac{35}{6}$. Итак, $O_1\left(\frac{35}{6}, \frac{h}{2}\right)$.
Шаг 3
Найдём координаты центра $O_2$. Центр $O_2$ также на средней линии: $O_2(n, h/2)$, $r_2 = h/2$. Расстояние от $O_2$ до прямой $CD$ равно $r_2$.
Уравнение $CD$: $3h x + 85y - 117h = 0$. Расстояние от $O_2$ до $CD$:
$\frac{|3h n + 85 \cdot (h/2) - 117h|}{\sqrt{(3h)^2 + 85^2}} = \frac{h}{2}$.
Вычисляем $\sqrt{9h^2+85^2} = \sqrt{875+7225} = \sqrt{8100}=90$. Получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 90 = |3n + 85/2 - 117| \Rightarrow |3n - 149/2| = 45$.
Из двух решений $n = \frac{239}{6}$ и $n = \frac{59}{6}$ выбираем точку внутри трапеции: $n = \frac{59}{6}$. Итак, $O_2\left(\frac{59}{6}, \frac{h}{2}\right)$.
Уравнение $CD$: $3h x + 85y - 117h = 0$. Расстояние от $O_2$ до $CD$:
$\frac{|3h n + 85 \cdot (h/2) - 117h|}{\sqrt{(3h)^2 + 85^2}} = \frac{h}{2}$.
Вычисляем $\sqrt{9h^2+85^2} = \sqrt{875+7225} = \sqrt{8100}=90$. Получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 90 = |3n + 85/2 - 117| \Rightarrow |3n - 149/2| = 45$.
Из двух решений $n = \frac{239}{6}$ и $n = \frac{59}{6}$ выбираем точку внутри трапеции: $n = \frac{59}{6}$. Итак, $O_2\left(\frac{59}{6}, \frac{h}{2}\right)$.
Шаг 4
Расстояние $O_1O_2$:
$O_1O_2 = \left| \frac{59}{6} - \frac{35}{6} \right| = \frac{24}{6} = 4$.
$O_1O_2 = \left| \frac{59}{6} - \frac{35}{6} \right| = \frac{24}{6} = 4$.
Окончательный ответ:
4