Шаг 1
Введём замену $t = \log_4 x$. Тогда $\log_4 (64x) = \log_4 64 + \log_4 x = 3 + t$.
Результат:
Левая часть (LHS) принимает вид $\frac{3+t}{t-3} + \frac{t-3}{3+t}$.
Шаг 2
Преобразуем сумму дробей по формуле $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$.
Результат:
LHS = $\frac{(t+3)^2 + (t-3)^2}{(t-3)(t+3)} = \frac{(t+3)^2 + (t-3)^2}{t^2 - 9}$.
Шаг 3
Упростим числитель: $(t+3)^2 + (t-3)^2 = 2t^2 + 18 = 2(t^2 + 9)$.
Результат:
LHS = $\frac{2(t^2 + 9)}{t^2 - 9}$.
Шаг 4
Преобразуем правую часть (RHS): $\log_4 (x^4) = 4t$, поэтому RHS = $\frac{4t + 16}{t^2 - 9}$.
Результат:
Исходное неравенство приводится к виду $\frac{2(t^2 + 9)}{t^2 - 9} \ge \frac{4(t + 4)}{t^2 - 9}$.
Шаг 5
Рассмотрим знаменатель $t^2 - 9$. Возможны два случая: $t^2 - 9 > 0$ ($|t| > 3$) и $t^2 - 9 < 0$ ($|t| < 3$). Случай $t^2 - 9 = 0$ не входит в ОДЗ.
Шаг 6
Случай 1: $|t| > 3$. Знаменатель положителен, домножаем на него: $2(t^2 + 9) \ge 4(t + 4)$. Упрощаем: $t^2 + 9 \ge 2t + 8 \Rightarrow t^2 - 2t + 1 \ge 0 \Rightarrow (t - 1)^2 \ge 0$.
Результат:
Неравенство верно при всех $t$, но с учётом условия $|t| > 3$ получаем $t > 3$ или $t < -3$.
Шаг 7
Случай 2: $|t| < 3$. Знаменатель отрицателен, при умножении знак неравенства меняется: $2(t^2 + 9) \le 4(t + 4)$. Упрощаем: $t^2 - 2t + 1 \le 0 \Rightarrow (t - 1)^2 \le 0$.
Результат:
Это возможно только при $t = 1$, что удовлетворяет условию $|t| < 3$.
Шаг 8
Возвращаемся к переменной $x$: $t = \log_4 x$.
Результат:
Получаем три условия: $\log_4 x < -3$, $\log_4 x = 1$, $\log_4 x > 3$.
Шаг 9
Решаем каждое: $\log_4 x < -3 \Rightarrow 0 < x < \frac{1}{64}$; $\log_4 x = 1 \Rightarrow x = 4$; $\log_4 x > 3 \Rightarrow x > 64$.
Результат:
Объединяем решения, учитывая, что $x > 0$ и $t \neq \pm 3$.
Окончательный ответ:
$x \in \left(0, \frac{1}{64}\right) \cup \{4\} \cup (64, +\infty)$.