🔍 Решение
Шаг 1
** Свойства параллелограмма.
$ABCD$ — параллелограмм $\Rightarrow$ $AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$.
$\angle BAD = 60^\circ \Rightarrow \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
**
Шаг 2
** Четырёхугольники $ABED$ и $ABKD$ вписаны в одну окружность (по условию).
В $ABED$: $\angle BAD + \angle BED = 180^\circ \Rightarrow \angle BED = 120^\circ$.
В $ABKD$: $\angle BAD + \angle BKD = 180^\circ \Rightarrow \angle BKD = 120^\circ$.
**
Шаг 3
** Найдём $\angle ABE$ и $\angle ADK$.
$\angle ABE = 180^\circ - \angle ABC = 60^\circ$ (смежный с $\angle ABC = 120^\circ$).
$\angle ADK = 180^\circ - \angle ADC = 60^\circ$ (смежный с $\angle ADC = \angle ABC = 120^\circ$).
**
Шаг 4
** В окружности $ABED$: $\angle ADE = \angle ABE$ (вписанные, опираются на дугу $AE$).
Значит $\angle ADE = 60^\circ$.
В окружности $ABKD$: $\angle ABK = \angle ADK$ (вписанные, опираются на дугу $AK$).
Значит $\angle ABK = 60^\circ$.
**
Шаг 5
** Тогда в окружностях:
дуга $AE$ стягивает вписанный угол $\angle ADE = 60^\circ$,
дуга $AK$ стягивает вписанный угол $\angle ABK = 60^\circ$.
Поскольку окружность одна и та же, равные вписанные углы опираются на равные хорды: $AE = AK$.
**
---
### **б) Найти $KE : BD$**
**
Результат:
** $AE = AK$ доказано.
Шаг 6
** Из пункта (а) $AE = AK$, и $\angle EAK = \angle BAD = 60^\circ$ (углы совпадают).
Тогда $\triangle AKE$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, значит он равносторонний: $KE = AE$.
**
Шаг 7
** Введём обозначения: $AB = a$, $AD = b$.
В параллелограмме $\angle BAD = 60^\circ$, $\angle ABC = 120^\circ$.
По теореме косинусов в $\triangle ABD$:
$BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos 60^\circ = a^2 + b^2 - ab$.
**
Шаг 8
** Найдём $AE$ из $\triangle ABE$.
В этом треугольнике: $AB = a$, $\angle ABE = 180^\circ - \angle ABC = 60^\circ$, $\angle AEB = \angle ADB$ (вписанные в окружность $ABED$, опираются на дугу $AB$).
**
Шаг 9
** Выразим $\sin \angle ADB$ из $\triangle ABD$ по теореме синусов:
$\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{BD}{\sin 60^\circ} \Rightarrow \sin \angle ADB = \frac{a \sin 60^\circ}{BD}$.
**
Шаг 10
** Теперь для $\triangle ABE$ по теореме синусов:
$\frac{AE}{\sin 60^\circ} = \frac{AB}{\sin \angle AEB} = \frac{a}{\sin \angle ADB} = \frac{a}{\frac{a \sin 60^\circ}{BD}} = \frac{BD}{\sin 60^\circ}$.
Отсюда $AE = \sin 60^\circ \cdot \frac{BD}{\sin 60^\circ} = BD$.
**
Шаг 11
** Так как $KE = AE$, получаем $KE = BD$, значит отношение $KE : BD = 1$.
**
---
**
Результат:
** $KE : BD = 1$.
Окончательный ответ:
1