Шаг 1
Введём координаты. Поместим основание $AD$ на ось $Ox$. Пусть $A = (0,0)$, $D = (32,0)$ (так как $AD = 2 \cdot BC = 32$ при $BC = 16$).
Шаг 2
Пусть $B = (x, h)$, $C = (x+16, h)$, где $h$ — высота трапеции.
Шаг 3
Из условия $AB = CD = 10$ получаем два уравнения:
$x^{2} + h^{2} = 100$ и $(16 - x)^{2} + h^{2} = 100$.
$x^{2} + h^{2} = 100$ и $(16 - x)^{2} + h^{2} = 100$.
Шаг 4
Вычитаем уравнения: $(16 - x)^{2} - x^{2} = 0 \Rightarrow 256 - 32x = 0 \Rightarrow x = 8$. Тогда $h = \sqrt{100 - 64} = 6$.
Шаг 5
Основание высоты из $C$: $H = (x+16, 0) = (24, 0)$. Отрезки на $AD$: $AH = 24$, $HD = 8$. Их отношение $24:8 = 3:1$, что доказывает пункт (а).
Шаг 6
Найдём точку $O$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.
Прямая $AC$: параметр $t$, $A + t(C - A) = (24t, 6t)$.
Прямая $BD$: параметр $s$, $B + s(D - B) = (8 + 24s, 6 - 6s)$.
Прямая $AC$: параметр $t$, $A + t(C - A) = (24t, 6t)$.
Прямая $BD$: параметр $s$, $B + s(D - B) = (8 + 24s, 6 - 6s)$.
Шаг 7
Приравниваем координаты: $24t = 8 + 24s$ и $6t = 6 - 6s$. Из второго $t = 1 - s$. Подставляем в первое: $24(1 - s) = 8 + 24s \Rightarrow 24 - 24s = 8 + 24s \Rightarrow 48s = 16 \Rightarrow s = \frac{1}{3}$, $t = \frac{2}{3}$. Тогда $O = (24 \cdot \frac{2}{3}, 6 \cdot \frac{2}{3}) = (16, 4)$.
Шаг 8
Середина $OD$: $M = \left( \frac{16+32}{2}, \frac{4+0}{2} \right) = (24, 2)$.
Шаг 9
Расстояние от $C(24, 6)$ до $M(24, 2)$ равно $|6 - 2| = 4$.
Окончательный ответ:
4