Шаг 1
Введём обозначения.
Пусть сделано $ m $ ходов. Пусть $ n_i $ — количество ходов, в которых коробка $ i $ была принимающей (получала $+3$ камня). Тогда в каждом ходе коробка $ i $ теряет 1 камень, если она не принимающая. Итоговое изменение количества камней в коробке $ i $: $ 3n_i - (m - n_i) = 4n_i - m $.
Итоговое количество: $ a_i = \text{начальное}_i + 4n_i - m $, где $ n_i $ — целые неотрицательные числа и $ m = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 $. Общее число камней сохраняется: $ 101+102+103+0 = 306 $.
Пусть сделано $ m $ ходов. Пусть $ n_i $ — количество ходов, в которых коробка $ i $ была принимающей (получала $+3$ камня). Тогда в каждом ходе коробка $ i $ теряет 1 камень, если она не принимающая. Итоговое изменение количества камней в коробке $ i $: $ 3n_i - (m - n_i) = 4n_i - m $.
Итоговое количество: $ a_i = \text{начальное}_i + 4n_i - m $, где $ n_i $ — целые неотрицательные числа и $ m = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 $. Общее число камней сохраняется: $ 101+102+103+0 = 306 $.
Шаг 2
Рассмотрим случай (а).
Дано: $ a_1=97,\ a_2=102,\ a_3=103,\ a_4=4 $.
Подставляем:
$ 97 = 101 + 4n_1 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_1 - m = -4 $,
$ 102 = 102 + 4n_2 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_2 - m = 0 $,
$ 103 = 103 + 4n_3 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_3 - m = 0 $,
$ 4 = 0 + 4n_4 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_4 - m = 4 $.
Из второго и третьего: $ m = 4n_2 = 4n_3 $, значит $ n_2 = n_3 $.
Пусть $ m = 4k $. Тогда $ n_2 = n_3 = k $, $ n_1 = k-1 $, $ n_4 = k+1 $.
При $ k=1 $ получаем $ n_1=0,\ n_2=1,\ n_3=1,\ n_4=2,\ m=4 $. Проверка даёт нужные значения.
Дано: $ a_1=97,\ a_2=102,\ a_3=103,\ a_4=4 $.
Подставляем:
$ 97 = 101 + 4n_1 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_1 - m = -4 $,
$ 102 = 102 + 4n_2 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_2 - m = 0 $,
$ 103 = 103 + 4n_3 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_3 - m = 0 $,
$ 4 = 0 + 4n_4 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_4 - m = 4 $.
Из второго и третьего: $ m = 4n_2 = 4n_3 $, значит $ n_2 = n_3 $.
Пусть $ m = 4k $. Тогда $ n_2 = n_3 = k $, $ n_1 = k-1 $, $ n_4 = k+1 $.
При $ k=1 $ получаем $ n_1=0,\ n_2=1,\ n_3=1,\ n_4=2,\ m=4 $. Проверка даёт нужные значения.
Результат:
Такая ситуация возможна.
Шаг 3
Рассмотрим случай (б).
Пусть в четвёртой коробке 306 камней, в остальных — 0.
Тогда:
$ 0 = 101 + 4n_1 - m $ $ \Rightarrow $ $ m - 4n_1 = 101 $,
$ 0 = 102 + 4n_2 - m $ $ \Rightarrow $ $ m - 4n_2 = 102 $,
$ 0 = 103 + 4n_3 - m $ $ \Rightarrow $ $ m - 4n_3 = 103 $,
$ 306 = 0 + 4n_4 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_4 - m = 306 $.
Из первых трёх уравнений: $ m \equiv 1 \text{ (mod 4)} $, $ m \equiv 2 \text{ (mod 4)} $, $ m \equiv 3 \text{ (mod 4)} $. Эти условия несовместны.
Пусть в четвёртой коробке 306 камней, в остальных — 0.
Тогда:
$ 0 = 101 + 4n_1 - m $ $ \Rightarrow $ $ m - 4n_1 = 101 $,
$ 0 = 102 + 4n_2 - m $ $ \Rightarrow $ $ m - 4n_2 = 102 $,
$ 0 = 103 + 4n_3 - m $ $ \Rightarrow $ $ m - 4n_3 = 103 $,
$ 306 = 0 + 4n_4 - m $ $ \Rightarrow $ $ 4n_4 - m = 306 $.
Из первых трёх уравнений: $ m \equiv 1 \text{ (mod 4)} $, $ m \equiv 2 \text{ (mod 4)} $, $ m \equiv 3 \text{ (mod 4)} $. Эти условия несовместны.
Результат:
Ситуация невозможна.
Шаг 4
Рассмотрим случай (в).
Нужно максимизировать $ a_1 = 101 + 4n_1 - m $, где $ m = n_1+n_2+n_3+n_4 $.
Перепишем: $ a_1 = 101 + 3n_1 - (n_2+n_3+n_4) $.
Для максимизации $ a_1 $ нужно сделать $ n_1 $ как можно больше, а $ n_2, n_3, n_4 $ как можно меньше.
Оптимальная стратегия: никогда не класть камни в коробки 2 и 3 (т.е. $ n_2 = n_3 = 0 $), тогда они теряют по 1 камню в каждом ходе. Коробка 2 иссякнет первой, поэтому $ m \le 102 $.
Пусть $ n_4 $ — число ходов, когда камни кладут в коробку 4. Тогда $ m = n_1 + n_4 $.
Условие неотрицательности для коробки 4: $ a_4 = 0 + 4n_4 - m = 3n_4 - n_1 \ge 0 $ $ \Rightarrow $ $ 3n_4 \ge n_1 $.
Также $ m = n_1 + n_4 \le 102 $.
Подставляя $ n_4 \ge \frac{n_1}{3} $, получаем $ n_1 + \frac{n_1}{3} \le 102 $ $ \Rightarrow $ $ \frac{4}{3}n_1 \le 102 $ $ \Rightarrow $ $ n_1 \le 76.5 $, значит $ n_1 \le 76 $.
Проверим $ n_1 = 76 $: минимальное $ n_4 = 26 $ (так как $ 3 \cdot 26 = 78 \ge 76 $), тогда $ m = 76+26=102 $.
Вычисляем:
$ a_1 = 101 + 4 \cdot 76 - 102 = 303 $,
$ a_2 = 102 - 102 = 0 $,
$ a_3 = 103 - 102 = 1 $,
$ a_4 = 3 \cdot 26 - 76 = 2 $.
Все значения неотрицательны.
При $ n_1 = 77 $ минимальное $ n_4 = 26 $, тогда $ m = 103 $, но $ a_2 = 102-103 = -1 < 0 $, что невозможно.
Нужно максимизировать $ a_1 = 101 + 4n_1 - m $, где $ m = n_1+n_2+n_3+n_4 $.
Перепишем: $ a_1 = 101 + 3n_1 - (n_2+n_3+n_4) $.
Для максимизации $ a_1 $ нужно сделать $ n_1 $ как можно больше, а $ n_2, n_3, n_4 $ как можно меньше.
Оптимальная стратегия: никогда не класть камни в коробки 2 и 3 (т.е. $ n_2 = n_3 = 0 $), тогда они теряют по 1 камню в каждом ходе. Коробка 2 иссякнет первой, поэтому $ m \le 102 $.
Пусть $ n_4 $ — число ходов, когда камни кладут в коробку 4. Тогда $ m = n_1 + n_4 $.
Условие неотрицательности для коробки 4: $ a_4 = 0 + 4n_4 - m = 3n_4 - n_1 \ge 0 $ $ \Rightarrow $ $ 3n_4 \ge n_1 $.
Также $ m = n_1 + n_4 \le 102 $.
Подставляя $ n_4 \ge \frac{n_1}{3} $, получаем $ n_1 + \frac{n_1}{3} \le 102 $ $ \Rightarrow $ $ \frac{4}{3}n_1 \le 102 $ $ \Rightarrow $ $ n_1 \le 76.5 $, значит $ n_1 \le 76 $.
Проверим $ n_1 = 76 $: минимальное $ n_4 = 26 $ (так как $ 3 \cdot 26 = 78 \ge 76 $), тогда $ m = 76+26=102 $.
Вычисляем:
$ a_1 = 101 + 4 \cdot 76 - 102 = 303 $,
$ a_2 = 102 - 102 = 0 $,
$ a_3 = 103 - 102 = 1 $,
$ a_4 = 3 \cdot 26 - 76 = 2 $.
Все значения неотрицательны.
При $ n_1 = 77 $ минимальное $ n_4 = 26 $, тогда $ m = 103 $, но $ a_2 = 102-103 = -1 < 0 $, что невозможно.
Результат:
Наибольшее возможное число камней в первой коробке — 303.
Окончательный ответ:
а) Да, б) Нет, в) 303.