Шаг 1
Упрощаем уравнение.
Дано: $\cos 2x + \sqrt{3} \sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$.
Используем формулы: $\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos x$ и $\cos 2x = 2\cos^{2} x - 1$.
Подставляем: $2\cos^{2} x - 1 + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0$.
Дано: $\cos 2x + \sqrt{3} \sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$.
Используем формулы: $\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos x$ и $\cos 2x = 2\cos^{2} x - 1$.
Подставляем: $2\cos^{2} x - 1 + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0$.
Результат:
Уравнение упрощается до $2\cos^{2} x + \sqrt{3} \cos x = 0$.
Шаг 2
Решаем полученное уравнение.
Выносим $\cos x$: $\cos x \left( 2\cos x + \sqrt{3} \right) = 0$.
Получаем две серии:
1) $\cos x = 0$;
2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Выносим $\cos x$: $\cos x \left( 2\cos x + \sqrt{3} \right) = 0$.
Получаем две серии:
1) $\cos x = 0$;
2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Результат:
Уравнение распалось на два простейших тригонометрических уравнения.
Шаг 3
Находим общие решения.
Для $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Для $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Для $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Для $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Результат:
Получены три серии корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Шаг 4
Отбираем корни на отрезке $\left[ -3\pi; -\frac{3\pi}{2} \right]$.
1) Серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Решаем неравенство: $-3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-3 \leq \frac{1}{2} + n \leq -\frac{3}{2}$.
Вычитаем $\frac{1}{2}$: $-\frac{7}{2} \leq n \leq -2$.
Целые $n$: $n = -3, -2$.
При $n = -3$: $x = -\frac{5\pi}{2}$; при $n = -2$: $x = -\frac{3\pi}{2}$.
Оба значения принадлежат отрезку.
2) Серия $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Неравенство: $-3\pi \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-3 \leq \frac{5}{6} + 2k \leq -\frac{3}{2}$.
Вычитаем $\frac{5}{6}$: $-\frac{23}{6} \leq 2k \leq -\frac{7}{3}$.
Делим на 2: $-\frac{23}{12} \leq k \leq -\frac{7}{6}$.
Целые $k$: $k = -2, -1$.
При $k = -2$: $x = -\frac{19\pi}{6} \approx -9.95$; при $k = -1$: $x = -\frac{7\pi}{6} \approx -3.67$.
Отрезок $[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}] \approx [-9.42, -4.71]$. Ни одно значение не принадлежит.
3) Серия $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Неравенство: $-3\pi \leq -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-3 \leq -\frac{5}{6} + 2k \leq -\frac{3}{2}$.
Прибавляем $\frac{5}{6}$: $-\frac{13}{6} \leq 2k \leq -\frac{2}{3}$.
Делим на 2: $-\frac{13}{12} \leq k \leq -\frac{1}{3}$.
Целые $k$: $k = -1, 0$.
При $k = -1$: $x = -\frac{17\pi}{6} \approx -8.90$; при $k = 0$: $x = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62$.
Только $x = -\frac{17\pi}{6}$ принадлежит отрезку.
1) Серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Решаем неравенство: $-3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-3 \leq \frac{1}{2} + n \leq -\frac{3}{2}$.
Вычитаем $\frac{1}{2}$: $-\frac{7}{2} \leq n \leq -2$.
Целые $n$: $n = -3, -2$.
При $n = -3$: $x = -\frac{5\pi}{2}$; при $n = -2$: $x = -\frac{3\pi}{2}$.
Оба значения принадлежат отрезку.
2) Серия $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Неравенство: $-3\pi \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-3 \leq \frac{5}{6} + 2k \leq -\frac{3}{2}$.
Вычитаем $\frac{5}{6}$: $-\frac{23}{6} \leq 2k \leq -\frac{7}{3}$.
Делим на 2: $-\frac{23}{12} \leq k \leq -\frac{7}{6}$.
Целые $k$: $k = -2, -1$.
При $k = -2$: $x = -\frac{19\pi}{6} \approx -9.95$; при $k = -1$: $x = -\frac{7\pi}{6} \approx -3.67$.
Отрезок $[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}] \approx [-9.42, -4.71]$. Ни одно значение не принадлежит.
3) Серия $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Неравенство: $-3\pi \leq -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\frac{3\pi}{2}$.
Делим на $\pi$: $-3 \leq -\frac{5}{6} + 2k \leq -\frac{3}{2}$.
Прибавляем $\frac{5}{6}$: $-\frac{13}{6} \leq 2k \leq -\frac{2}{3}$.
Делим на 2: $-\frac{13}{12} \leq k \leq -\frac{1}{3}$.
Целые $k$: $k = -1, 0$.
При $k = -1$: $x = -\frac{17\pi}{6} \approx -8.90$; при $k = 0$: $x = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62$.
Только $x = -\frac{17\pi}{6}$ принадлежит отрезку.
Результат:
На отрезке лежат корни $-\frac{17\pi}{6}$, $-\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$.
Окончательный ответ: