Шаг 1
Введём координаты.
Результат:
Пусть $A(0,0)$, $B(s,0)$, $C(s,s)$, $D(0,s)$, где $s = 2\sqrt{10}$.
Шаг 2
Найдём координаты середин.
Результат:
$M(s/2, 0)$ и $N(s, s/2)$.
Шаг 3
Найдём уравнения прямых $CM$ и $DN$.
Результат:
$CM$: $y = 2x - s$. $DN$: $y = s - \frac{x}{2}$.
Шаг 4
Найдём точку пересечения $K$.
Результат:
Решаем $2x - s = s - \frac{x}{2} \Rightarrow x = \frac{4s}{5}$, $y = \frac{3s}{5}$. Значит, $K\left(\frac{4s}{5}, \frac{3s}{5}\right)$.
Шаг 5
Докажем, что $\angle BKM = 45^\circ$.
Результат:
Векторы $\overrightarrow{KB} = \left(\frac{s}{5}, -\frac{3s}{5}\right)$ и $\overrightarrow{KM} = \left(-\frac{3s}{10}, -\frac{3s}{5}\right)$. Их скалярное произведение равно $\frac{3s^2}{10}$, длины равны $\frac{s\sqrt{10}}{5}$ и $\frac{3s\sqrt{5}}{10}$. Тогда $\cos \angle BKM = \frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно, $\angle BKM = 45^\circ$.
Шаг 6
Найдём стороны треугольника $ABK$.
Результат:
$A(0,0)$, $B(s,0)$, $K\left(\frac{4s}{5}, \frac{3s}{5}\right)$. Тогда $AB = s$, $AK = s$, $BK = \frac{s\sqrt{10}}{5}$.
Шаг 7
Подставим $s = 2\sqrt{10}$.
Результат:
$AB = 2\sqrt{10}$, $AK = 2\sqrt{10}$, $BK = \frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}{5} = 4$.
Шаг 8
Найдём радиус описанной окружности.
Результат:
Площадь $\triangle ABK$ равна $S = \frac{3s^2}{10} = 12$. По формуле $R = \frac{AB \cdot AK \cdot BK}{4S} = \frac{2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10} \cdot 4}{4 \cdot 12} = \frac{160}{48} = \frac{10}{3}$.
Окончательный ответ:
$\angle BKM = 45^\circ$ и $R = \frac{10}{3}$