Шаг 1
Преобразуем логарифмы.
Используем свойства: $\log_4(16x^4) = \log_4(4^2) + \log_4(x^4) = 2 + 4\log_4 x$.
Тогда исходное неравенство принимает вид:
$\frac{4\log_4 x + 13}{(\log_4 x)^2 - 9} \ge -1$.
Используем свойства: $\log_4(16x^4) = \log_4(4^2) + \log_4(x^4) = 2 + 4\log_4 x$.
Тогда исходное неравенство принимает вид:
$\frac{4\log_4 x + 13}{(\log_4 x)^2 - 9} \ge -1$.
Шаг 2
Введем замену $t = \log_4 x$.
Неравенство становится $\frac{4t+13}{t^2-9} \ge -1$.
Переносим -1 влево и приводим к общему знаменателю:
$\frac{4t+13}{t^2-9} + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{4t+13 + t^2 - 9}{t^2-9} \ge 0 \Rightarrow \frac{t^2+4t+4}{t^2-9} \ge 0 \Rightarrow \frac{(t+2)^2}{(t-3)(t+3)} \ge 0$.
Неравенство становится $\frac{4t+13}{t^2-9} \ge -1$.
Переносим -1 влево и приводим к общему знаменателю:
$\frac{4t+13}{t^2-9} + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{4t+13 + t^2 - 9}{t^2-9} \ge 0 \Rightarrow \frac{t^2+4t+4}{t^2-9} \ge 0 \Rightarrow \frac{(t+2)^2}{(t-3)(t+3)} \ge 0$.
Шаг 3
Решаем неравенство методом интервалов.
Числитель: $(t+2)^2 \ge 0$, ноль при $t=-2$.
Знаменатель: $(t-3)(t+3) > 0$ при $t<-3$ или $t>3$; равен нулю при $t=\pm3$.
Дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен (и числитель $\ge 0$) или числитель равен нулю.
Получаем: $t < -3$, $t = -2$, $t > 3$.
Возвращаемся к $x$: $x = 4^t$.
$t < -3 \Rightarrow x \in (0, 4^{-3}) = (0, \frac{1}{64})$.
$t = -2 \Rightarrow x = 4^{-2} = \frac{1}{16}$.
$t > 3 \Rightarrow x \in (4^3, \infty) = (64, \infty)$.
Числитель: $(t+2)^2 \ge 0$, ноль при $t=-2$.
Знаменатель: $(t-3)(t+3) > 0$ при $t<-3$ или $t>3$; равен нулю при $t=\pm3$.
Дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен (и числитель $\ge 0$) или числитель равен нулю.
Получаем: $t < -3$, $t = -2$, $t > 3$.
Возвращаемся к $x$: $x = 4^t$.
$t < -3 \Rightarrow x \in (0, 4^{-3}) = (0, \frac{1}{64})$.
$t = -2 \Rightarrow x = 4^{-2} = \frac{1}{16}$.
$t > 3 \Rightarrow x \in (4^3, \infty) = (64, \infty)$.
Окончательный ответ:
$x \in (0, \frac{1}{64}) \cup \left\{\frac{1}{16}\right\} \cup (64, \infty)$.