🔍 Решение
Шаг 1
Преобразуем уравнение $2 \sin 2x + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x$. Используем $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $4 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x$.
Шаг 2
Раскроем $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$. Подставляем: $4 \sin x \cos x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) = \cos x$. Упрощаем: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$, получаем $4 \sin x \cos x + \sin x + \cos x = \cos x$.
Шаг 3
Переносим $\cos x$: $4 \sin x \cos x + \sin x = 0$. Выносим $\sin x$: $\sin x (4 \cos x + 1) = 0$.
Шаг 4
Решаем совокупность:
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $4 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) = \pi - \arccos\frac{1}{4}$, обозначим $\alpha = \arccos\frac{1}{4}$. Тогда $x = \pi \pm \alpha + 2\pi k$.
Шаг 5
Найдем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.
Для $x = \pi n$: $n = -2$ дает $x = -2\pi$, $n = -1$ дает $x = -\pi$. Оба входят.
Для $x = \pi + \alpha + 2\pi k$: при $k = -1$ получаем $x = \alpha - \pi \approx -1.824$, входит.
Для $x = \pi - \alpha + 2\pi k$: при $k = -1$ получаем $x = -\pi - \alpha \approx -4.460$, входит.
а) $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; $x = \pi \pm \arccos\frac{1}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) Корни на отрезке: $-2\pi$, $-\pi$, $-\pi - \arccos\frac{1}{4}$, $\arccos\frac{1}{4} - \pi$.
Окончательный ответ:
а) $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; $x = \pi \pm \arccos\frac{1}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$, $-\pi$, $-\pi - \arccos\frac{1}{4}$, $\arccos\frac{1}{4} - \pi$