Шаг 1
Упростим уравнение $(x + \ln(x + a))^2 = (x - \ln(x + a))^2$. Используем разность квадратов:
$(x + \ln(x + a) - (x - \ln(x + a))) \cdot (x + \ln(x + a) + (x - \ln(x + a))) = 0$.
$(x + \ln(x + a) - (x - \ln(x + a))) \cdot (x + \ln(x + a) + (x - \ln(x + a))) = 0$.
Результат:
$(2\ln(x + a)) \cdot (2x) = 0$, то есть $x \cdot \ln(x + a) = 0$.
Шаг 2
Уравнение распадается на два случая:
1) $x = 0$.
2) $\ln(x + a) = 0 \Rightarrow x + a = 1 \Rightarrow x = 1 - a$.
1) $x = 0$.
2) $\ln(x + a) = 0 \Rightarrow x + a = 1 \Rightarrow x = 1 - a$.
Результат:
Все возможные решения — $x = 0$ и $x = 1 - a$ (при условии $x + a > 0$).
Шаг 3
Условие существования логарифма: $x + a > 0$.
Для $x = 0$: $a > 0$.
Для $x = 1 - a$: $(1 - a) + a = 1 > 0$ — выполняется всегда.
Для $x = 0$: $a > 0$.
Для $x = 1 - a$: $(1 - a) + a = 1 > 0$ — выполняется всегда.
Результат:
Для существования решения $x = 0$ необходимо $a > 0$.
Шаг 4
Требуется единственное решение на отрезке $[0; 1]$.
Рассмотрим $x = 0$: это решение при $a > 0$.
Рассмотрим $x = 1 - a$: это решение, если $0 \le 1 - a \le 1$, то есть $0 \le a \le 1$, и при этом $1 - a \neq 0$ (иначе совпадает с $x = 0$).
Рассмотрим $x = 0$: это решение при $a > 0$.
Рассмотрим $x = 1 - a$: это решение, если $0 \le 1 - a \le 1$, то есть $0 \le a \le 1$, и при этом $1 - a \neq 0$ (иначе совпадает с $x = 0$).
Шаг 5
Анализ количества решений в зависимости от $a$.
- При $a > 1$: $1 - a < 0$, поэтому только $x = 0$ (единственное решение).
- При $0 < a < 1$: $1 - a \in (0, 1)$, получаем два различных решения: $x = 0$ и $x = 1 - a$.
- При $a = 1$: $1 - a = 0$, решения совпадают, единственное решение $x = 0$.
- При $a = 0$: условие $x + a > 0$ для $x = 0$ не выполнено, поэтому $x = 0$ не решение. Уравнение $x \cdot \ln(x) = 0$ даёт $x = 1$ (так как $\ln(1) = 0$). Это единственное решение на $[0, 1]$.
- При $a < 0$: для $x = 0$ логарифм не определён, а $x = 1 - a > 1$, поэтому решений на $[0, 1]$ нет.
- При $a > 1$: $1 - a < 0$, поэтому только $x = 0$ (единственное решение).
- При $0 < a < 1$: $1 - a \in (0, 1)$, получаем два различных решения: $x = 0$ и $x = 1 - a$.
- При $a = 1$: $1 - a = 0$, решения совпадают, единственное решение $x = 0$.
- При $a = 0$: условие $x + a > 0$ для $x = 0$ не выполнено, поэтому $x = 0$ не решение. Уравнение $x \cdot \ln(x) = 0$ даёт $x = 1$ (так как $\ln(1) = 0$). Это единственное решение на $[0, 1]$.
- При $a < 0$: для $x = 0$ логарифм не определён, а $x = 1 - a > 1$, поэтому решений на $[0, 1]$ нет.
Результат:
Единственное решение на $[0, 1]$ достигается при $a = 0$, $a = 1$ и $a > 1$.
Окончательный ответ:
$\{0\} \cup [1, +\infty)$