Шаг 1
Упростим уравнение, используя формулы приведения.
Результат:
$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$ и $\cos(\pi - x) = -\cos x$. Подставляем в исходное уравнение: $2(-\cos x)^2 + (-\cos x) = 0$.
Шаг 2
Приведём подобные слагаемые.
Результат:
$2\cos^2 x - \cos x = 0$.
Шаг 3
Вынесем общий множитель.
Результат:
$\cos x (2\cos x - 1) = 0$.
Шаг 4
Решаем полученные уравнения.
Результат:
$\cos x = 0$ или $\cos x = \frac{1}{2}$.
Шаг 5
Находим общие решения и отбираем корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.
1. Из $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. Из $\cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
На заданном отрезке лежат корни:
При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.
При $n = -1$ для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$ (не входит).
При $n = -1$ для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$ (входит).
Результат:
1. Из $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. Из $\cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
На заданном отрезке лежат корни:
При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.
При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.
При $n = -1$ для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$ (не входит).
При $n = -1$ для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$ (входит).
Окончательный ответ:
$-\frac{5\pi}{3},\ -\frac{3\pi}{2},\ -\frac{\pi}{2}$