Шаг 1
Доказательство прямого угла.
Результат:
Проектируем точки на горизонтальную плоскость. Точки $A$, $B$, $C_1$ лежат на окружности с центром на оси цилиндра. Так как отрезок $AC_1$ проходит через ось, он является диаметром этой окружности. По теореме Фалеса, угол $ABC_1$, опирающийся на диаметр, является прямым.
Шаг 2
Введём систему координат.
Результат:
Поместим центр нижнего основания в точку $(0,0,0)$, а верхнего — в $(0,0,12)$. Ось цилиндра совпадает с осью $Oz$. Пусть радиус оснований равен $R$. Тогда можно взять $A = (R, 0, 12)$ и $C_1 = (-R, 0, 0)$, так как $AC_1$ проходит через ось.
Шаг 3
Найдём координаты точки $B$.
Результат:
Точка $B$ лежит на верхнем основании, поэтому $B = (x_B, y_B, 12)$, где $x_B^2 + y_B^2 = R^2$. Из условия $AB = 21$ получаем: $(x_B - R)^2 + y_B^2 = 441$. Вычитая из этого равенства $x_B^2 + y_B^2 = R^2$, находим: $-2Rx_B + R^2 = 441 - R^2 \Rightarrow R - x_B = \frac{441}{2R}$.
Шаг 4
Используем условие $B_1C_1 = 16$.
Результат:
Точка $B_1$ — проекция $B$ на нижнее основание: $B_1 = (x_B, y_B, 0)$. Из $B_1C_1 = 16$ получаем: $(x_B + R)^2 + y_B^2 = 256$. Подставляя $x_B^2 + y_B^2 = R^2$, имеем: $R^2 + 2Rx_B + R^2 = 256 \Rightarrow R^2 + Rx_B = 128$.
Шаг 5
Находим $R$ и искомое расстояние.
$R^2 + R\left(R - \frac{441}{2R}\right) = 128 \Rightarrow 2R^2 - \frac{441}{2} = 128 \Rightarrow 2R^2 = \frac{441}{2} + 128 = \frac{441 + 256}{2} = \frac{697}{2} \Rightarrow R^2 = \frac{697}{4}$.
В треугольнике $ABC_1$ ($\angle B = 90^\circ$) искомое расстояние от $B$ до $AC_1$ — это высота $h$, опущенная из $B$ на гипотенузу $AC_1$. Находим: $AC_1 = \sqrt{(2R)^2 + 12^2} = \sqrt{4 \cdot \frac{697}{4} + 144} = \sqrt{697 + 144} = \sqrt{841} = 29$. Площадь треугольника $ABC_1$ равна $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC_1$. $BC_1 = \sqrt{B_1C_1^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$. Тогда площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 = 210$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot h$. Приравниваем: $\frac{29}{2} h = 210 \Rightarrow h = \frac{420}{29}$.
Результат:
Подставим $x_B = R - \frac{441}{2R}$ в уравнение $R^2 + Rx_B = 128$:
$R^2 + R\left(R - \frac{441}{2R}\right) = 128 \Rightarrow 2R^2 - \frac{441}{2} = 128 \Rightarrow 2R^2 = \frac{441}{2} + 128 = \frac{441 + 256}{2} = \frac{697}{2} \Rightarrow R^2 = \frac{697}{4}$.
В треугольнике $ABC_1$ ($\angle B = 90^\circ$) искомое расстояние от $B$ до $AC_1$ — это высота $h$, опущенная из $B$ на гипотенузу $AC_1$. Находим: $AC_1 = \sqrt{(2R)^2 + 12^2} = \sqrt{4 \cdot \frac{697}{4} + 144} = \sqrt{697 + 144} = \sqrt{841} = 29$. Площадь треугольника $ABC_1$ равна $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC_1$. $BC_1 = \sqrt{B_1C_1^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$. Тогда площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 20 = 210$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot h$. Приравниваем: $\frac{29}{2} h = 210 \Rightarrow h = \frac{420}{29}$.
Окончательный ответ:
$\frac{420}{29}$