Задание 5BB81C

Введем систему координат. Поместим начало в точку D. Пусть ось x направлена по DA, ось y по DC, ось z вверх. Тогда координаты: D(0,0,0), A(8,0,0), C(0,3,0). Так как ABCD - трапеция с основаниями AD=8 и BC=3, и BC || AD, то B(3,3,0). Пусть высота пирамиды равна h, тогда S(0,0,h).

Найдем координаты точек M и N. Точка M делит SD в отношении SM:MD=3:2. Координаты M: M(0,0, \frac{3}{5}h). Точка N делит BC в отношении BN:NC=1:2. Координаты N: N(2,3,0).

Найдем уравнение плоскости AMN. Векторы: AM = (-8, 0, \frac{3}{5}h), AN = (-6, 3, 0). Нормальный вектор плоскости n = AM \times AN. Вычислим векторное произведение: n = (0*\cdot0 - \frac{3}{5}h\cdot3, \frac{3}{5}h\cdot(-6) - (-8)*0, -8\cdot3 - 0\cdot(-6)) = (-\frac{9}{5}h, -\frac{18}{5}h, -24). Упростим, умножив на -5: n = (9h, 18h, 120). Уравнение плоскости: 9h(x-8) + 18h(y-0) + 120(z-0) = 0, или 9hx + 18hy + 120z = 72h.

Найдем точку K пересечения плоскости AMN с ребром SC. Параметризуем SC: S(0,0,h), C(0,3,0). Точка SC: (0, 3t, h(1-t)), где t \in [0,1]. Подставим в уравнение плоскости: 9h*0 + 18h*(3t) + 120*h(1-t) = 72h. Сократим на h (h>0): 54t + 120 - 120t = 72, откуда -66t = -48, t = \frac{48}{66} = \frac{8}{11}. Тогда координаты K: (0, 3*\frac{8}{11}, h(1-\frac{8}{11})) = (0, \frac{24}{11}, \frac{3}{11}h). Найдем отношение SK:KC. По параметру t: SK:KC = t:(1-t) = \frac{8}{11} : \frac{3}{11} = 8:3. Но это не соответствует требуемому 6:1. Проверим вычисления.

Пересчитаем векторное произведение для AM и AN. AM = M - A = (0-8, 0-0, \frac{3}{5}h - 0) = (-8, 0, \frac{3}{5}h). AN = N - A = (2-8, 3-0, 0-0) = (-6, 3, 0). Векторное произведение: n_x = 0*0 - \frac{3}{5}h*3 = -\frac{9}{5}h. n_y = \frac{3}{5}h*(-6) - (-8)*0 = -\frac{18}{5}h. n_z = (-8)*3 - 0*(-6) = -24. Верно. Уравнение: -\frac{9}{5}h(x-8) - \frac{18}{5}h(y-0) - 24(z-0)=0. Умножим на -5: 9h(x-8) + 18hy + 120z = 0, то есть 9hx + 18hy + 120z = 72h. Подставим точку SC: (0, 3t, h(1-t)): 0 + 18h*(3t) + 120h(1-t) = 72h. Делим на h: 54t + 120 - 120t = 72, -66t = -48, t = \frac{8}{11}. Это верно. Тогда SK:KC = t:(1-t) = \frac{8}{11}:\frac{3}{11} = 8:3. Но в условии требуется доказать SK:KC=6:1. Возможно, ошибка в условии или в моих вычислениях? Проверим координаты N. BC: B(3,3,0), C(0,3,0). BN:NC=1:2. Тогда N = B + \frac{1}{3}(C-B) = (3,3,0) + \frac{1}{3}(-3,0,0) = (3-1, 3, 0) = (2,3,0). Верно. Проверим отношение SM:MD=3:2. M = S + \frac{3}{5}(D-S) = (0,0,h) + \frac{3}{5}(0,0,-h) = (0,0, h - \frac{3}{5}h) = (0,0, \frac{2}{5}h)? Нет: S(0,0,h), D(0,0,0). Вектор SD = (0,0,-h). SM:MD=3:2, значит M делит SD в отношении 3:2 от S к D. Тогда M = S + \frac{3}{5}SD = (0,0,h) + \frac{3}{5}(0,0,-h) = (0,0, h - \frac{3}{5}h) = (0,0, \frac{2}{5}h). У меня было \frac{3}{5}h. Ошибка! Если SM:MD=3:2, то SM = \frac{3}{5}SD. Длина SD = h. Тогда координата z M = h - \frac{3}{5}h = \frac{2}{5}h. Я перепутал: если S(0,0,h), D(0,0,0), то точка с параметром t от S: (0,0, h(1-t)). При t = \frac{3}{5} (так как SM:SD=3:5) получаем z = h(1-\frac{3}{5}) = \frac{2}{5}h. Да, M(0,0, \frac{2}{5}h). Исправим.

С исправленными координатами M(0,0, \frac{2}{5}h). Пересчитаем. AM = (-8, 0, \frac{2}{5}h). AN = (-6, 3, 0). Векторное произведение: n_x = 0*0 - \frac{2}{5}h*3 = -\frac{6}{5}h. n_y = \frac{2}{5}h*(-6) - (-8)*0 = -\frac{12}{5}h. n_z = (-8)*3 - 0*(-6) = -24. Уравнение плоскости: -\frac{6}{5}h(x-8) - \frac{12}{5}h(y-0) - 24(z-0)=0. Умножим на -5: 6h(x-8) + 12hy + 120z = 0, то есть 6hx + 12hy + 120z = 48h. Подставим точку SC: (0, 3t, h(1-t)): 0 + 12h*(3t) + 120h(1-t) = 48h. Делим на h: 36t + 120 - 120t = 48, -84t = -72, t = \frac{72}{84} = \frac{6}{7}. Тогда SK:KC = t:(1-t) = \frac{6}{7}:\frac{1}{7} = 6:1. Что и требовалось доказать в пункте а).

Для пункта б) найдем отношение объемов многогранников, на которые плоскость AMN делит пирамиду. Плоскость AMN отсекает от пирамиды многогранник, содержащий вершину S. Обозначим его объем V1. Оставшаяся часть - V2. Найдем V1 как сумму объемов двух пирамид: S AMN и S AKN? Но это не тетраэдры. Лучше рассмотреть объем всей пирамиды SABCD и вычесть объем части, содержащей основание. Или использовать метод сечений.

Рассмотрим пирамиду SABCD. Ее объем V = \frac{1}{3} S_{ABCD} * h. Площадь трапеции ABCD: S_{осн} = \frac{AD+BC}{2} * высота. Высота трапеции: AB? В координатах: A(8,0,0), B(3,3,0), расстояние от A до прямой BC? Проще: основания AD=8, BC=3, боковая сторона AB? Не дана. Но из координат: A(8,0,0), B(3,3,0), тогда AB = \sqrt{(3-8)^2+(3-0)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}. Высота трапеции: расстояние между прямыми AD и BC. AD лежит на оси x от 0 до 8, BC параллельна оси x на y=3 от x=0 до x=3. Тогда высота трапеции = разность y координат = 3. Проверим: A(8,0), D(0,0) - нижнее основание. B(3,3), C(0,3) - верхнее основание. Да, высота = 3. Тогда S_{ABCD} = \frac{8+3}{2} * 3 = \frac{11}{2} * 3 = \frac{33}{2}. Объем V = \frac{1}{3} * \frac{33}{2} * h = \frac{11}{2}h.

Найдем объем пирамиды SAMN? Но SAMN не является тетраэдром, потому что точки A, M, N не лежат в одной плоскости с S? Они лежат в плоскости AMN, значит S не в этой плоскости. SAMN - тетраэдр? Нет, потому что M и N не соединены ребром с S? S соединен с A и M, но не с N. Так что это не тетраэдр. Объем V1 можно найти как объем пирамиды с вершиной S и основанием AMN? Но AMN - плоский треугольник, лежащий в плоскости сечения. Тогда пирамида SAMN имеет основание AMN и вершину S. Но точки S, A, M, N не все лежат в одной плоскости, так что это тетраэдр. Да, тетраэдр SAMN: вершина S, основание треугольник AMN. Его объем можно вычислить. Но тогда отсеченная часть не просто этот тетраэдр, потому что плоскость AMN пересекает еще ребро SC в точке K. Значит, отсеченный многогранник - это пирамида SAMN плюс еще что-то. На самом деле, плоскость AMN отсекает от пирамиды SABCD многогранник с вершиной S и основанием AMNK? Но AMNK - это четырехугольник в плоскости сечения. Этот многогранник не является пирамидой, потому что основание AMNK не обязательно плоское? Оно плоское, так как все точки лежат в плоскости AMN. Тогда это пирамида SAMNK? Но вершина S, основание - четырехугольник AMNK. Это пирамида? Да, если точки A, M, N, K лежат в одной плоскости, то это пирамида с вершиной S и основанием AMNK. Но AMNK - это четырехугольник. Объем этой пирамиды равен \frac{1}{3} * S_{AMNK} * расстояние от S до плоскости AMN. Но расстояние от S до плоскости AMN мы можем найти. Или можно разбить пирамиду SAMNK на два тетраэдра: SAMN и SKMN? Но тогда нужно убедиться, что они не перекрываются. Лучше использовать отношение объемов через параметры.

Вместо этого применим метод отношения объемов через проведение плоскостей. Рассмотрим пирамиду SABCD. Плоскость AMN пересекает ребра SD, BC, SC в точках M, N, K соответственно. Мы знаем отношения: SM:MD=3:2, BN:NC=1:2, SK:KC=6:1. Также плоскость проходит через вершину A. Объем отсеченной части (содержащей S) можно найти как сумму объемов двух пирамид: S AMN и S KMN? Но они имеют общую грань SMN? Не совсем. Разобьем исходную пирамиду на части. Проведем плоскость через S и прямую BC. Она содержит грань SBC. Также проведем плоскость через S и AD. Тогда пирамида разбивается на три тетраэдра? Сложно.

Более систематический подход: используем формулу для объема части пирамиды, отсекаемой плоскостью, проходящей через данную точку на ребре. Для пирамиды SABCD объем V. Плоскость AMN отсекает многогранник с вершиной S. Обозначим его V1. Тогда V2 = V - V1. Найдем V1 как объем пирамиды с вершиной S и основанием AMNK. Но AMNK - четырехугольник в плоскости сечения. Разобьем его диагональю AN на два треугольника: AMN и AKN. Тогда пирамида SAMNK разбивается на две пирамиды: SAMN (с основанием AMN) и SKMN (с основанием KMN)? Но SKMN: вершина S, основание KMN. Но K, M, N лежат в плоскости сечения, так что это тоже тетраэдр. Однако тетраэдры SAMN и SKMN имеют общую грань SMN? Нет, у них общее ребро SN? Проверим: у SAMN грани: SAM, SMN, SAN, AMN. У SKMN грани: SKM, SKN, SMN, KMN. Они пересекаются по треугольнику SMN. Значит, они имеют общую грань SMN. Тогда V1 = V_{SAMN} + V_{SKMN}. Но нужно быть осторожным: точки A, K, M, N все лежат в плоскости сечения, так что тетраэдры SAMN и SKMN вместе образуют многогранник SAMNK? Нет, потому что у них общая грань SMN, но эта грань внутри, так что действительно V1 = V_{SAMN} + V_{SKMN}. Однако тетраэдр SKMN не имеет вершины A, так что это допустимо.

Вычислим V_{SAMN}. Тетраэдр SAMN: вершина S, основание AMN. Объем тетраэдра равен \frac{1}{6} |(SA \times SM) \cdot SN|? Лучше через смешанное произведение. Но можно через отношение объемов. Заметим, что тетраэдр SAMN можно рассмотреть как часть пирамиды SABCD. Выразим его объем через объем V. Для этого рассмотрим пирамиду SABD? Нет.

Вместо этого используем координатный метод. Мы уже ввели координаты. Найдем объем тетраэдра SAMN. Координаты: S(0,0,h), A(8,0,0), M(0,0, \frac{2}{5}h), N(2,3,0). Объем тетраэдра SAMN = \frac{1}{6} |\det(SA, SM, SN)|. Векторы: SA = A - S = (8,0,-h). SM = M - S = (0,0, \frac{2}{5}h - h) = (0,0, -\frac{3}{5}h). SN = N - S = (2,3,-h). Вычислим определитель:
| 8 0 -h |
| 0 0 -3h/5 |
| 2 3 -h |
= 8 * (0*(-h) - (-3h/5)*3) - 0*(0*(-h)-(-3h/5)*2) + (-h)*(0*3 - 0*2) = 8*(0 + (9h/5)) - 0 + (-h)*0 = 8*(9h/5) = 72h/5.
Определитель положительный? Объем = \frac{1}{6} * |72h/5| = \frac{72h}{30} = \frac{12h}{5}.

Теперь объем тетраэдра SKMN. Координаты: S(0,0,h), K(0, \frac{24}{11}, \frac{3}{11}h), M(0,0, \frac{2}{5}h), N(2,3,0). Векторы: SK = (0, \frac{24}{11}, \frac{3}{11}h - h) = (0, \frac{24}{11}, -\frac{8}{11}h). SM = (0,0, -\frac{3}{5}h). SN = (2,3,-h). Вычислим определитель:
| 0 24/11 -8h/11 |
| 0 0 -3h/5 |
| 2 3 -h |
Разложим по первой строке: = 0 * (0*(-h) - (-3h/5)*3) - (24/11) * (0*(-h) - (-3h/5)*2) + (-8h/11) * (0*3 - 0*2) = 0 - (24/11) * (0 + (6h/5)) + (-8h/11)*0 = - (24/11)*(6h/5) = -144h/55.
Модуль: 144h/55. Объем = \frac{1}{6} * 144h/55 = 24h/55.

Тогда V1 = V_{SAMN} + V_{SKMN} = \frac{12h}{5} + \frac{24h}{55} = \frac{132h}{55} + \frac{24h}{55} = \frac{156h}{55} = \frac{12*13h}{55}? Упростим: 156/55 h.
Объем всей пирамиды V = \frac{11}{2}h = \frac{11h}{2} = \frac{605h}{110}? Приведем к общему знаменателю 110: V = \frac{605h}{110}, V1 = \frac{156h}{55} = \frac{312h}{110}. Тогда V2 = V - V1 = \frac{605h}{110} - \frac{312h}{110} = \frac{293h}{110}.
Отношение объемов: V1 : V2 = \frac{312h}{110} : \frac{293h}{110} = 312 : 293.
Проверим вычисления: V = \frac{11}{2}h = 5.5h. V1 = \frac{156}{55}h ≈ 2.83636h. V2 ≈ 2.66364h. Сумма ≈ 5.5h. Отношение 312:293 ≈ 1.065. Кажется правдоподобным.

Но нужно проверить, действительно ли V1 равен сумме этих двух тетраэдров. Многогранник с вершиной S, отсекаемый плоскостью AMN, имеет вершины S, A, M, K, N. Это невыпуклый? Посмотрим на расположение точек. В плоскости сечения: A, M, N, K. В пространстве: S над плоскостью. Многогранник SAMNK - это пирамида с основанием AMNK и вершиной S. Но основание AMNK - это четырехугольник. Его можно разбить диагональю AN на треугольники AMN и AKN. Тогда пирамида SAMNK разбивается на две пирамиды: SAMN и SAKN? Но у них общая вершина S и общее ребро SA? Нет, они имеют общую грань SAN? Лучше разбить диагональю MN. Тогда получим треугольники SMN и AMN? Не совсем. Разобьем многогранник SAMNK на тетраэдры SAMN и SKMN. Они имеют общую грань SMN, которая лежит внутри многогранника. Действительно, многогранник SAMNK можно представить как объединение тетраэдров SAMN и SKMN, пересекающихся по треугольнику SMN. Это корректно, если точки S, M, N не коллинеарны. Так что V1 = V_{SAMN} + V_{SKMN}. Наши вычисления верны.