🔍 Решение
Шаг 1
Раскроем log₄(64x⁶) как log₄64 + 6log₄x.
Результат:
log₄(64x⁶) = 3 + 6log₄x.
Шаг 2
Подставим в неравенство, соберём члены.
Результат:
1 + 5(log₄x - 3) + 6(log₄x)² - (3 + 6log₄x) + 12 ≥ 0.
Шаг 3
Выполним действия с константами.
Результат:
1 - 15 - 3 + 12 = -5.
Шаг 4
Объединим логарифмические слагаемые.
Результат:
5log₄x - 6log₄x = -log₄x.
Шаг 5
Получаем квадратное неравенство
Результат:
6(log₄x)² - log₄x - 5 ≥ 0.
Шаг 6
Обозначим t = log₄x.
Результат:
Получим 6t² - t - 5 ≥ 0.
Шаг 7
Найдём корни уравнения.
Результат:
t = (1 ± 11) / 12, т.е. t = -5/6 и t = 1.
Шаг 8
Анализ знаков дает решение
Результат:
t ≤ -5/6 или t ≥ 1.
Шаг 9
Вернёмся к переменной x:
Результат:
log₄x ≤ -5/6 или log₄x ≥ 1.
Шаг 10
Переходим к показателям.
Результат:
x ≤ 4^( -5/6) или x ≥ 4.
Шаг 11
Учитываем область определения x > 0.
Результат:
Ответ корректен для всех положительных x.
Окончательный ответ:
$(0, 4^{-5/6}] \cup [4, \infty)$