🔍 Решение
Шаг 1
Введем замену $t = \log_2 x$. Тогда:
$\log_2 (32x) = 5 + t$, $\log_2 \frac{x}{16} = t - 4$.
Исходное неравенство принимает вид:
$\frac{t+5}{t-5} + \frac{t-5}{t+5} \ge (t-4) + \frac{18}{t} - 25$.
Результат:
Неравенство упрощено до выражения с $t$.
Шаг 2
Упростим обе части.
Левая часть: $\frac{t+5}{t-5} + \frac{t-5}{t+5} = \frac{(t+5)^2 + (t-5)^2}{(t-5)(t+5)} = \frac{2t^2+50}{t^2-25}$.
Правая часть: $(t-4) + \frac{18}{t} - 25 = t - 29 + \frac{18}{t}$.
Получаем: $\frac{2t^2+50}{t^2-25} \ge t - 29 + \frac{18}{t}$.
Результат:
Неравенство приведено к виду $\frac{2t^2+50}{t^2-25} \ge t - 29 + \frac{18}{t}$.
Шаг 3
Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю $t(t^2-25)$:
$\frac{2t^2+50}{t^2-25} - t + 29 - \frac{18}{t} \ge 0$.
$\frac{t(2t^2+50) - t(t^2-25)t + 29t(t^2-25) - 18(t^2-25)}{t(t^2-25)} \ge 0$.
Упростим числитель:
$t(2t^2+50) = 2t^3+50t$,
$-t(t^2-25)t = -t^4+25t^2$,
$29t(t^2-25) = 29t^3-725t$,
$-18(t^2-25) = -18t^2+450$.
Сумма: $-t^4 + 31t^3 + 7t^2 - 675t + 450$.
Получаем: $\frac{-t^4 + 31t^3 + 7t^2 - 675t + 450}{t(t^2-25)} \ge 0$.
Результат:
Неравенство имеет вид $\frac{-t^4 + 31t^3 + 7t^2 - 675t + 450}{t(t^2-25)} \ge 0$.
Шаг 4
Умножим на $-1$, меняя знак неравенства:
$\frac{t^4 - 31t^3 - 7t^2 + 675t - 450}{t(t^2-25)} \le 0$.
Результат:
Знак изменен для удобства.
Шаг 5
Найдем корни числителя $P(t)=t^4 - 31t^3 - 7t^2 + 675t - 450$.
Подбором находим четыре действительных корня (приближенно):
$t_1 \approx -4.75$, $t_2 \approx 0.69$, $t_3 \approx 4.52$, $t_4 \approx 31.02$.
Знаменатель: $t(t^2-25) = t(t-5)(t+5)$.
Точки, где знаменатель равен нулю: $t = -5$, $t = 0$, $t = 5$ (выколоты, так как не входят в ОДЗ).
Результат:
Все критические точки: $t \approx -4.75$, $-5$, $0.69$, $0$, $4.52$, $5$, $31.02$.
Шаг 6
Определим знак дроби $\frac{P(t)}{t(t-5)(t+5)}$ на интервалах.
Возьмем тестовые точки:
- $t < -5$ (например $t=-6$): дробь отрицательна.
- $-5 < t < -4.75$ ($t=-4.8$): положительна.
- $-4.75 < t < 0$ ($t=-1$): отрицательна.
- $0 < t < 0.69$ ($t=0.5$): положительна.
- $0.69 < t < 4.52$ ($t=2$): отрицательна.
- $4.52 < t < 5$ ($t=4.6$): положительна.
- $5 < t < 31.02$ ($t=10$): отрицательна.
- $t > 31.02$ ($t=32$): положительна.
Нам нужно $\le 0$, поэтому подходят интервалы, где дробь неположительна, включая нули числителя:
$t \in (-\infty, -5) \cup [-4.75, 0) \cup [0.69, 4.52] \cup (5, 31.02]$.
Результат:
Решение относительно $t$.
Шаг 7
Вернемся к $x = 2^t$, учитывая ОДЗ: $x > 0$, $t \ne -5,0,5$.
1) $t < -5 \Rightarrow 0 < x < 2^{-5} = \frac{1}{32}$.
2) $-4.75 \le t < 0 \Rightarrow 2^{-4.75} \le x < 1$.
3) $0.69 \le t \le 4.52 \Rightarrow 2^{0.69} \le x \le 2^{4.52}$.
4) $5 < t \le 31.02 \Rightarrow 32 < x \le 2^{31.02}$.
Объединяя и учитывая строгость границ в точках $t=-5,0,5$, получаем:
$x \in \left(0, \frac{1}{32}\right) \cup \left[2^{-4.75}, 1\right) \cup \left[2^{0.69}, 2^{4.52}\right] \cup \left(32, 2^{31.02}\right]$.
Окончательный ответ:
0.03