Задание 6FD94F

Обозначим числа.
Пусть первое число имеет последнюю цифру $a$, где $a \in \{1,2,3,4,5,6\}$ (так как числа последовательные и последние цифры не нули, возможные последние цифры четверки — это $a, a+1, a+2, a+3$ по модулю 10, и ни одна не равна 0). Число представим как $10k + a$, где $k$ — натуральное. Тогда четыре числа: $10k + a$, $10k + a + 1$, $10k + a + 2$, $10k + a + 3$.

Найдем сумму $S$ после деления каждого числа на его последнюю цифру.
Делим:
$$
\frac{10k + a}{a} = \frac{10k}{a} + 1, \quad \frac{10k + a + 1}{a+1} = \frac{10k}{a+1} + 1, \quad \frac{10k + a + 2}{a+2} = \frac{10k}{a+2} + 1, \quad \frac{10k + a + 3}{a+3} = \frac{10k}{a+3} + 1.
$$
Суммируем:
$$
S = 4 + 10k \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+3} \right).
$$

Обозначим $T(a) = \frac{1}{a} + \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+3}$. Тогда $S = 4 + 10k \cdot T(a)$. Поскольку $S$ целое, $10k \cdot T(a)$ должно быть целым.

Проверим возможность $S = 1656$ и $S = 56929126$.
Для каждого $a$ от 1 до 6 вычислим $T(a)$:
$a=1$: $T = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12}$,
$a=2$: $T = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{77}{60}$,
$a=3$: $T = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{19}{20}$,
$a=4$: $T = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} = \frac{319}{420}$,
$a=5$: $T = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} = \frac{533}{840}$,
$a=6$: $T = \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} = \frac{275}{504}$.

Для целости $10k \cdot T(a)$ необходимо, чтобы $k$ делилось на знаменатель $T(a)$ (с учетом сокращения с 10). Проверим, может ли $S$ равняться указанным значениям.

Для $S = 1656$: $10k T(a) = 1652$. Подставляя $T(a)$ для каждого $a$, получаем $k = \frac{1652}{10 T(a)}$. Для всех $a$ это $k$ не будет натуральным (например, для $a=1$: $k = \frac{1652 \cdot 12}{10 \cdot 25} = \frac{19824}{250}$, не целое). Аналогично для других $a$ — не целое. Значит, невозможно.

Для $S = 56929126$: $10k T(a) = 56929122$. Аналогично проверяем: для каждого $a$ $k = \frac{56929122}{10 T(a)}$ не будет натуральным (например, для $a=1$: $k = \frac{56929122 \cdot 12}{10 \cdot 25} = \frac{683149464}{250}$, не целое). Значит, невозможно.

Найдем наибольшее целое $S$ для трехзначных чисел.
Числа трехзначные: $100 \leq 10k + a \leq 999$. Максимизируем $S = 4 + 10k T(a)$. Поскольку $T(a)$ убывает с ростом $a$, наибольшее $S$ достигается при наименьшем $a$, где $10k T(a)$ целое и $k$ максимально возможно.

При $a=1$: $T = \frac{25}{12}$. Чтобы $10k \cdot \frac{25}{12}$ было целым, нужно $10k$ делилось на 12, т.е. $k$ делилось на 6 (так как НОК(10,12)=60, минимальное $k=6$). Максимальное $k$ из условия $10k + 1 \leq 999$: $10k \leq 998$, $k \leq 99.8$, наибольшее кратное 6 — это $k = 96$ (так как $96 \cdot 10 + 1 = 961 \leq 999$, а $102 \cdot 10 + 1 = 1021 > 999$). Тогда $S = 4 + 10 \cdot 96 \cdot \frac{25}{12} = 4 + 960 \cdot \frac{25}{12} = 4 + 80 \cdot 25 = 4 + 2000 = 2004$.

Проверим другие $a$: для $a=2$ ($T = \frac{77}{60}$) нужно $k$ делилось на 6 (так как 10 и 60: минимальное $k=6$). Максимальное $k$ из $10k+2 \leq 999$: $k \leq 99.7$, наибольшее кратное 6 — $k=96$. Тогда $S = 4 + 10 \cdot 96 \cdot \frac{77}{60} = 4 + 16 \cdot 77 = 4 + 1232 = 1236$, что меньше 2004. Для больших $a$ $S$ будет еще меньше. Значит, максимум — при $a=1$, $k=96$.