Шаг 1
Преобразуем логарифмы к одному основанию.
Исходное неравенство: $\log_8(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \geq \log_2(x^2 - 1) - 5$.
Используем формулу $\log_8 A = \frac{\log_2 A}{3}$.
Получаем: $\frac{\log_2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)}{3} \geq \log_2(x^2 - 1) - 5$.
Исходное неравенство: $\log_8(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \geq \log_2(x^2 - 1) - 5$.
Используем формулу $\log_8 A = \frac{\log_2 A}{3}$.
Получаем: $\frac{\log_2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)}{3} \geq \log_2(x^2 - 1) - 5$.
Шаг 2
Умножим обе части на 3 и преобразуем.
$\log_2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \geq 3\log_2(x^2 - 1) - 15$.
Преобразуем $3\log_2(x^2 - 1) = \log_2\left((x^2 - 1)^3\right)$.
Тогда неравенство: $\log_2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \geq \log_2\left((x^2 - 1)^3\right) - 15$.
$\log_2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \geq 3\log_2(x^2 - 1) - 15$.
Преобразуем $3\log_2(x^2 - 1) = \log_2\left((x^2 - 1)^3\right)$.
Тогда неравенство: $\log_2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \geq \log_2\left((x^2 - 1)^3\right) - 15$.
Шаг 3
Упростим выражение.
Перенесем логарифм: $\log_2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - \log_2\left((x^2 - 1)^3\right) \geq -15$.
Используем свойство логарифмов: $\log_2\left(\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{(x^2 - 1)^3}\right) \geq -15$.
Это равносильно: $\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{(x^2 - 1)^3} \geq 2^{-15}$.
Перенесем логарифм: $\log_2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - \log_2\left((x^2 - 1)^3\right) \geq -15$.
Используем свойство логарифмов: $\log_2\left(\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{(x^2 - 1)^3}\right) \geq -15$.
Это равносильно: $\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{(x^2 - 1)^3} \geq 2^{-15}$.
Шаг 4
Заметим, что $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$, а $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим: $\frac{(x - 1)^3}{\left((x - 1)(x + 1)\right)^3} = \frac{(x - 1)^3}{(x - 1)^3 (x + 1)^3} = \frac{1}{(x + 1)^3}$ при $x \neq 1$.
Неравенство принимает вид: $\frac{1}{(x + 1)^3} \geq \frac{1}{2^{15}}$.
Подставим: $\frac{(x - 1)^3}{\left((x - 1)(x + 1)\right)^3} = \frac{(x - 1)^3}{(x - 1)^3 (x + 1)^3} = \frac{1}{(x + 1)^3}$ при $x \neq 1$.
Неравенство принимает вид: $\frac{1}{(x + 1)^3} \geq \frac{1}{2^{15}}$.
Шаг 5
Решаем упрощенное неравенство.
Так как функция $f(t) = \frac{1}{t^3}$ убывает на $(0, +\infty)$, из $\frac{1}{(x + 1)^3} \geq \frac{1}{2^{15}}$ следует $(x + 1)^3 \leq 2^{15}$.
Извлекаем кубический корень: $x + 1 \leq 2^5 = 32$.
Получаем $x \leq 31$.
Так как функция $f(t) = \frac{1}{t^3}$ убывает на $(0, +\infty)$, из $\frac{1}{(x + 1)^3} \geq \frac{1}{2^{15}}$ следует $(x + 1)^3 \leq 2^{15}$.
Извлекаем кубический корень: $x + 1 \leq 2^5 = 32$.
Получаем $x \leq 31$.
Шаг 6
Учитываем область определения.
Для исходного неравенства должны выполняться условия:
1) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 > 0 \Rightarrow (x - 1)^3 > 0 \Rightarrow x > 1$.
2) $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1$ или $x > 1$.
С учетом $x > 1$ и $x \leq 31$ получаем $1 < x \leq 31$.
При $x = 1$ выражения не определены.
Для исходного неравенства должны выполняться условия:
1) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 > 0 \Rightarrow (x - 1)^3 > 0 \Rightarrow x > 1$.
2) $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1$ или $x > 1$.
С учетом $x > 1$ и $x \leq 31$ получаем $1 < x \leq 31$.
При $x = 1$ выражения не определены.
Окончательный ответ:
$x \in (1, 31]$.