Задание C76A08

Упростим уравнение. $(5x-2) \cdot \ln(x+a) = (5x-2) \cdot \ln(2x-a)$ Выносим общий множитель: $(5x-2) \cdot \left[ \ln(x+a) - \ln(2x-a) \right] = 0$ Уравнение распадается на два случая: 1) $5x-2 = 0$ 2) $\ln\left( \frac{x+a}{2x-a} \right) = 0$, что равносильно $\frac{x+a}{2x-a} = 1$ при условиях $x+a>0$ и $2x-a>0$.

Рассмотрим случай 1. $5x-2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} = 0.4$. Этот корень лежит в $[0;1]$. Для его существования в ОДЗ исходного уравнения требуем: $x+a > 0 \Rightarrow 0.4 + a > 0 \Rightarrow a > -0.4$ $2x-a > 0 \Rightarrow 0.8 - a > 0 \Rightarrow a < 0.8$ Итак, $x=0.4$ — корень при $a \in (-0.4; 0.8)$.

Рассмотрим случай 2. $\frac{x+a}{2x-a} = 1 \Rightarrow x+a = 2x-a \Rightarrow x = 2a$. Условия ОДЗ: $x+a > 0 \Rightarrow 3a > 0 \Rightarrow a > 0$ и $2x-a > 0 \Rightarrow 3a > 0 \Rightarrow a > 0$. Также $x=2a$ должно принадлежать $[0;1]$: $0 \le 2a \le 1 \Rightarrow 0 \le a \le 0.5$. При $a=0$ имеем $x=0$, но $\ln(0)$ не определён. Значит, случай 2 даёт корень $x=2a$ при $a \in (0; 0.5]$.

Анализ количества корней на отрезке $[0;1]$. Возможные корни: $x_1 = 0.4$ (при $a \in (-0.4; 0.8)$) и $x_2 = 2a$ (при $a \in (0; 0.5]$). Требуется, чтобы на $[0;1]$ был ровно один корень.

Разбор по параметру $a$. 1) $a \le -0.4$: $x_1$ не в ОДЗ, $x_2 \notin [0;1]$. Корней нет. 2) $a \in (-0.4; 0]$: $x_1$ — корень, $x_2$ не существует (так как $a \le 0$). Ровно один корень. 3) $a \in (0; 0.5]$: $x_1$ — корень, $x_2$ — корень. Если $x_1 \ne x_2$, то два корня. Они совпадают при $2a = 0.4 \Rightarrow a=0.2$. Значит, ровно один корень только при $a=0.2$. 4) $a \in (0.5; 0.8)$: $x_1$ — корень, $x_2 > 1$ (так как $2a > 1$). Ровно один корень. 5) $a \ge 0.8$: $x_1$ не в ОДЗ, $x_2 \notin [0;1]$. Корней нет.

Проверка граничных точек. $a = -0.4$: $x_1$ не в ОДЗ ($\ln(0)$), $x_2 \notin [0;1]$. Нет корней. $a = 0.5$: $x_1=0.4$ и $x_2=1$ — оба корня. Не подходит. $a = 0.8$: $x_1$ не в ОДЗ ($\ln(0)$), $x_2 \notin [0;1]$. Нет корней.

Объединение подходящих значений. Ровно один корень на $[0;1]$ при: $a \in (-0.4; 0] \cup \{0.2\} \cup (0.5; 0.8)$.