🔍 Решение
Шаг 1
Упростим уравнение.
Исходное: $\sqrt{2x-1} \cdot \ln(4x-a) = \sqrt{2x-1} \cdot \ln(5x+a)$.
Переносим: $\sqrt{2x-1} \cdot \left( \ln(4x-a) - \ln(5x+a) \right) = 0$.
Уравнение распадается на два случая:
1) $\sqrt{2x-1} = 0$,
2) $\ln(4x-a) = \ln(5x+a)$.
Шаг 2
Первый случай.
$\sqrt{2x-1} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Для $x = \frac{1}{2}$ логарифмы определены при:
$4 \cdot \frac{1}{2} - a > 0 \Rightarrow a < 2$,
$5 \cdot \frac{1}{2} + a > 0 \Rightarrow a > -2.5$.
Итак, $x = \frac{1}{2}$ — корень при $a \in (-2.5, 2)$.
Шаг 3
Второй случай.
$\ln(4x-a) = \ln(5x+a) \Rightarrow 4x-a = 5x+a$ при $4x-a > 0$ и $5x+a > 0$.
Из равенства: $4x-a = 5x+a \Rightarrow x = -2a$.
Условия:
1) $x \in [0,1] \Rightarrow -2a \in [0,1] \Rightarrow a \in [-0.5, 0]$,
2) $4x-a > 0$ и $5x+a > 0$ дают $a < 0$.
Объединяя: $a \in [-0.5, 0)$.
Шаг 4
Анализ количества корней на $[0,1]$.
- При $a \in [-0.5, 0)$ есть два корня: $x_{1} = \frac{1}{2}$ (из первого случая, если $a \in (-2.5, 2)$) и $x_{2} = -2a$ (из второго случая), кроме случая их совпадения.
- Совпадение: $x_{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow -2a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = -0.25$. Тогда корень один.
- При $a = -0.5$: $x_{1} = \frac{1}{2}$, $x_{2} = 1$ — два корня.
- При $a \in (-2.5, -0.5)$: $x_{2} = -2a > 1$, не входит в $[0,1]$, остаётся только $x_{1} = \frac{1}{2}$ — один корень.
- При $a \in [0, 2)$: $x_{2} = -2a \leq 0$, не входит в $[0,1]$ (при $a=0$ логарифм не определен), остаётся $x_{1} = \frac{1}{2}$ — один корень.
- При $a \leq -2.5$ или $a \geq 2$: $x_{1}$ не является корнем (нарушены условия логарифма), $x_{2}$ либо не в $[0,1]$, либо не определен — корней нет.
Шаг 5
Итог.
Ровно один корень на $[0,1]$ при:
$a \in (-2.5, -0.5)$ (один корень $x = \frac{1}{2}$),
$a = -0.25$ (единственный корень $x = \frac{1}{2}$),
$a \in [0, 2)$ (один корень $x = \frac{1}{2}$).
Объединяя: $a \in (-2.5, -0.5) \cup \{-0.25\} \cup [0, 2)$.
Окончательный ответ:
$a \in (-2.5, -0.5) \cup \{-0.25\} \cup [0, 2)$