Шаг 1
Введём замену $u = 2^x > 0$. Перепишем неравенство:
$\frac{u^2 - 3 \cdot 2u + 4}{u - 5} + \frac{3 \cdot 2u - 46}{u - 8} \le u + 5$, то есть
$\frac{u^2 - 6u + 4}{u - 5} + \frac{6u - 46}{u - 8} \le u + 5$.
$\frac{u^2 - 3 \cdot 2u + 4}{u - 5} + \frac{3 \cdot 2u - 46}{u - 8} \le u + 5$, то есть
$\frac{u^2 - 6u + 4}{u - 5} + \frac{6u - 46}{u - 8} \le u + 5$.
Шаг 2
Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю $(u-5)(u-8)$:
$\frac{(u^2 - 6u + 4)(u - 8) + (6u - 46)(u - 5) - (u + 5)(u - 5)(u - 8)}{(u - 5)(u - 8)} \le 0$.
$\frac{(u^2 - 6u + 4)(u - 8) + (6u - 46)(u - 5) - (u + 5)(u - 5)(u - 8)}{(u - 5)(u - 8)} \le 0$.
Шаг 3
Упростим числитель:
$(u^3 - 8u^2 - 6u^2 + 48u + 4u - 32) + (6u^2 - 30u - 46u + 230) - (u + 5)(u^2 - 13u + 40)$.
Первые две скобки дают $u^3 - 14u^2 + 52u - 32 + 6u^2 - 76u + 230 = u^3 - 8u^2 - 24u + 198$.
Вычислим $(u + 5)(u^2 - 13u + 40) = u^3 - 13u^2 + 40u + 5u^2 - 65u + 200 = u^3 - 8u^2 - 25u + 200$.
Тогда числитель: $(u^3 - 8u^2 - 24u + 198) - (u^3 - 8u^2 - 25u + 200) = u - 2$.
$(u^3 - 8u^2 - 6u^2 + 48u + 4u - 32) + (6u^2 - 30u - 46u + 230) - (u + 5)(u^2 - 13u + 40)$.
Первые две скобки дают $u^3 - 14u^2 + 52u - 32 + 6u^2 - 76u + 230 = u^3 - 8u^2 - 24u + 198$.
Вычислим $(u + 5)(u^2 - 13u + 40) = u^3 - 13u^2 + 40u + 5u^2 - 65u + 200 = u^3 - 8u^2 - 25u + 200$.
Тогда числитель: $(u^3 - 8u^2 - 24u + 198) - (u^3 - 8u^2 - 25u + 200) = u - 2$.
Шаг 4
Получаем неравенство $\frac{u - 2}{(u - 5)(u - 8)} \le 0$, где $u > 0$.
Шаг 5
Метод интервалов для $u > 0$. Критические точки: $u = 2$, $u = 5$, $u = 8$.
Знаки выражения на интервалах:
- При $0 < u < 2$: $u-2 < 0$, $(u-5) < 0$, $(u-8) < 0$, дробь отрицательна (минус).
- При $2 < u < 5$: $u-2 > 0$, $(u-5) < 0$, $(u-8) < 0$, дробь положительна (плюс).
- При $5 < u < 8$: $u-2 > 0$, $(u-5) > 0$, $(u-8) < 0$, дробь отрицательна (минус).
- При $u > 8$: все множители положительны, дробь положительна.
Неравенство $\le 0$ выполняется при $u \in (0, 2] \cup (5, 8)$ (точка $u=2$ включается, $u=5$ и $u=8$ не входят).
Знаки выражения на интервалах:
- При $0 < u < 2$: $u-2 < 0$, $(u-5) < 0$, $(u-8) < 0$, дробь отрицательна (минус).
- При $2 < u < 5$: $u-2 > 0$, $(u-5) < 0$, $(u-8) < 0$, дробь положительна (плюс).
- При $5 < u < 8$: $u-2 > 0$, $(u-5) > 0$, $(u-8) < 0$, дробь отрицательна (минус).
- При $u > 8$: все множители положительны, дробь положительна.
Неравенство $\le 0$ выполняется при $u \in (0, 2] \cup (5, 8)$ (точка $u=2$ включается, $u=5$ и $u=8$ не входят).
Шаг 6
Возвращаемся к $x$: $u = 2^x$.
1) $0 < 2^x \le 2 \Rightarrow x \le 1$.
2) $5 < 2^x < 8 \Rightarrow \log_{2} 5 < x < 3$.
1) $0 < 2^x \le 2 \Rightarrow x \le 1$.
2) $5 < 2^x < 8 \Rightarrow \log_{2} 5 < x < 3$.
Окончательный ответ:
$x \le 1 \lor \log_{2} 5 < x < 3$.