Шаг 1
Преобразуем неравенство. Исходное: $\frac{x^3 + x^2 - x - 1}{4x^2 - 8} \cdot \frac{1}{2x^2 + 16} \geq 0$. Знаменатели: $4x^2 - 8 = 4(x^2 - 2)$, $2x^2 + 16 = 2(x^2 + 8)$. Получаем: $\frac{x^3 + x^2 - x - 1}{8(x^2 - 2)(x^2 + 8)} \geq 0$. Константа $8 > 0$ не влияет на знак. Результат: $\frac{x^3 + x^2 - x - 1}{(x^2 - 2)(x^2 + 8)} \geq 0$.
Шаг 2
Разложим числитель: $x^3 + x^2 - x - 1 = (x+1)(x^2-1) = (x+1)^2(x-1)$. Знаменатель: $x^2+8 > 0$ всегда, $x^2-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$. Результат: неравенство сводится к $\frac{(x+1)^2(x-1)}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})} \geq 0$.
Шаг 3
Ключевые точки: нули числителя $x=-1$ (чётная кратность), $x=1$; точки, где знаменатель равен нулю: $x=\pm\sqrt{2}$ (выколоты). Расположим на прямой: $-\sqrt{2}$, $-1$, $1$, $\sqrt{2}$.
Шаг 4
Определяем знак выражения на интервалах. Множитель $(x+1)^2 \geq 0$, знак определяют $(x-1)$, $(x-\sqrt{2})$, $(x+\sqrt{2})$.
- $x < -\sqrt{2}$: все три множителя отрицательны, знак "–".
- $-\sqrt{2} < x < -1$: $(x+\sqrt{2}) > 0$, $(x-1) < 0$, $(x-\sqrt{2}) < 0$, произведение "+".
- $-1 < x < 1$: аналогично предыдущему, знак "+".
- $1 < x < \sqrt{2}$: $(x+\sqrt{2}) > 0$, $(x-1) > 0$, $(x-\sqrt{2}) < 0$, знак "–".
- $x > \sqrt{2}$: все три положительны, знак "+".
- $x < -\sqrt{2}$: все три множителя отрицательны, знак "–".
- $-\sqrt{2} < x < -1$: $(x+\sqrt{2}) > 0$, $(x-1) < 0$, $(x-\sqrt{2}) < 0$, произведение "+".
- $-1 < x < 1$: аналогично предыдущему, знак "+".
- $1 < x < \sqrt{2}$: $(x+\sqrt{2}) > 0$, $(x-1) > 0$, $(x-\sqrt{2}) < 0$, знак "–".
- $x > \sqrt{2}$: все три положительны, знак "+".
Шаг 5
Учитываем $\geq 0$. Выражение положительно на $(-\sqrt{2}, -1)$, $(-1, 1)$, $(\sqrt{2}, +\infty)$. Равен нулю при $x=-1$ и $x=1$ (числитель ноль, знаменатель не ноль). Точки $x=\pm\sqrt{2}$ не входят. Результат: $(-\sqrt{2}, 1] \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.
Окончательный ответ:
$(-\sqrt{2}, 1] \cup (\sqrt{2}, +\infty)$