Задание 7D5C0E

Введем замену $t = 3^x > 0$, тогда $9^x = t^2$. Преобразуем неравенство:
$$
\frac{t+9}{t-9} + \frac{t-9}{t+9} \geq \frac{4 \cdot 3^{x+1} + 144}{9^x - 81} = \frac{12 \cdot 3^x + 144}{t^2 - 81} = \frac{12t + 144}{t^2 - 81}.
$$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$$
\frac{(t+9)^2 + (t-9)^2}{(t-9)(t+9)} = \frac{t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81}{t^2 - 81} = \frac{2t^2 + 162}{t^2 - 81}.
$$

Перенесем все в одну часть и упростим:
$$
\frac{2t^2 + 162}{t^2 - 81} - \frac{12t + 144}{t^2 - 81} \geq 0 \Rightarrow \frac{2t^2 - 12t + 18}{t^2 - 81} \geq 0.
$$
Выносим множитель и раскладываем на множители:
$$
\frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t-9)(t+9)} \geq 0 \Rightarrow \frac{2(t-3)^2}{(t-9)(t+9)} \geq 0.
$$
Множитель $2 > 0$ можно опустить.

Решаем неравенство $\frac{(t-3)^2}{(t-9)(t+9)} \geq 0$ при $t > 0$, $t \neq 9$.
Числитель $(t-3)^2 \geq 0$ всегда, равен нулю при $t=3$.
Знаменатель положителен при $(t-9)(t+9) > 0$, т.е. $t > 9$ (так как $t > 0$).
С учетом нестрогого неравенства, решение: $t = 3$ или $t > 9$.

Возвращаемся к $x$: $t = 3^x$.
- $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.
- $3^x > 9 \Rightarrow 3^x > 3^2 \Rightarrow x > 2$ (основание $3 > 1$).
Условие $t \neq 9$ ($x \neq 2$) учтено в $x > 2$.