Шаг 1
Перепишем неравенство: $2^{3x-2} \cdot 4^{x+1} + 5 \cdot 2^{x+2} - 16^{x-1} \ge 0$.
Шаг 2
Приведем все степени к основанию 2.
$4^{x+1} = (2^{2})^{x+1} = 2^{2x+2}$,
$16^{x-1} = (2^{4})^{x-1} = 2^{4x-4}$.
Подставляем: $2^{3x-2} \cdot 2^{2x+2} + 5 \cdot 2^{x+2} - 2^{4x-4} \ge 0$.
$4^{x+1} = (2^{2})^{x+1} = 2^{2x+2}$,
$16^{x-1} = (2^{4})^{x-1} = 2^{4x-4}$.
Подставляем: $2^{3x-2} \cdot 2^{2x+2} + 5 \cdot 2^{x+2} - 2^{4x-4} \ge 0$.
Шаг 3
Упрощаем степени.
$2^{3x-2} \cdot 2^{2x+2} = 2^{5x}$,
$5 \cdot 2^{x+2} = 20 \cdot 2^{x}$,
$-2^{4x-4} = -\frac{2^{4x}}{16}$.
Получаем: $2^{5x} + 20 \cdot 2^{x} - \frac{2^{4x}}{16} \ge 0$.
$2^{3x-2} \cdot 2^{2x+2} = 2^{5x}$,
$5 \cdot 2^{x+2} = 20 \cdot 2^{x}$,
$-2^{4x-4} = -\frac{2^{4x}}{16}$.
Получаем: $2^{5x} + 20 \cdot 2^{x} - \frac{2^{4x}}{16} \ge 0$.
Шаг 4
Умножаем на 16: $16 \cdot 2^{5x} + 320 \cdot 2^{x} - 2^{4x} \ge 0$.
Шаг 5
Замена $t = 2^{x} > 0$. Тогда $2^{5x} = t^{5}$, $2^{4x} = t^{4}$, $2^{x} = t$.
Неравенство: $16t^{5} - t^{4} + 320t \ge 0$.
Неравенство: $16t^{5} - t^{4} + 320t \ge 0$.
Шаг 6
Выносим $t$: $t(16t^{4} - t^{3} + 320) \ge 0$.
Так как $t > 0$, делим на $t$: $16t^{4} - t^{3} + 320 \ge 0$.
Так как $t > 0$, делим на $t$: $16t^{4} - t^{3} + 320 \ge 0$.
Шаг 7
Исследуем $f(t) = 16t^{4} - t^{3} + 320$ при $t > 0$.
Производная $f'(t) = 64t^{3} - 3t^{2} = t^{2}(64t - 3)$.
$f'(t) = 0$ при $t = \frac{3}{64}$ (единственная критическая точка при $t>0$).
При $t > \frac{3}{64}$ производная положительна, функция возрастает.
Вычислим $f\left(\frac{3}{64}\right)$:
$t^{3} = \frac{27}{262144}$, $t^{4} = \frac{81}{16777216}$,
$16t^{4} = \frac{1296}{16777216} = \frac{81}{1048576}$,
$f(t) = \frac{81}{1048576} - \frac{27}{262144} + 320$.
Оба слагаемых с $t$ крайне малы, их сумма близка к нулю, поэтому $f(t) > 320 - 0.001 > 0$.
Минимальное значение функции положительно, значит $f(t) > 0$ для всех $t > 0$.
Производная $f'(t) = 64t^{3} - 3t^{2} = t^{2}(64t - 3)$.
$f'(t) = 0$ при $t = \frac{3}{64}$ (единственная критическая точка при $t>0$).
При $t > \frac{3}{64}$ производная положительна, функция возрастает.
Вычислим $f\left(\frac{3}{64}\right)$:
$t^{3} = \frac{27}{262144}$, $t^{4} = \frac{81}{16777216}$,
$16t^{4} = \frac{1296}{16777216} = \frac{81}{1048576}$,
$f(t) = \frac{81}{1048576} - \frac{27}{262144} + 320$.
Оба слагаемых с $t$ крайне малы, их сумма близка к нулю, поэтому $f(t) > 320 - 0.001 > 0$.
Минимальное значение функции положительно, значит $f(t) > 0$ для всех $t > 0$.
Шаг 8
Неравенство $16t^{4} - t^{3} + 320 \ge 0$ верно при всех $t > 0$.
Возвращаемся к $x$: $t = 2^{x} > 0$ всегда, поэтому исходное неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Возвращаемся к $x$: $t = 2^{x} > 0$ всегда, поэтому исходное неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, +\infty)$