Шаг 1
Упрощаем уравнение.
Используем формулы: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и $\cos(x + \pi) = -\cos x$.
Подставляем: $2 \sin x \cos x + \sqrt{2} (-\cos x) = 0$.
Используем формулы: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и $\cos(x + \pi) = -\cos x$.
Подставляем: $2 \sin x \cos x + \sqrt{2} (-\cos x) = 0$.
Результат:
$2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0$.
Шаг 2
Выносим общий множитель $\cos x$:
$\cos x \left( 2 \sin x - \sqrt{2} \right) = 0$.
$\cos x \left( 2 \sin x - \sqrt{2} \right) = 0$.
Результат:
два уравнения: $\cos x = 0$ или $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Шаг 3
Решаем уравнения.
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
б) Отбор корней на отрезке $\left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right]$
1) Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
Неравенства: $3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq \frac{9\pi}{2}$.
Упрощаем: $3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \pi n \geq \frac{5\pi}{2} \Rightarrow n \geq 2.5 \Rightarrow n \geq 3$.
$\frac{\pi}{2} + \pi n \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow \pi n \leq 4\pi \Rightarrow n \leq 4$.
Целые $n$: $n = 3$ и $n = 4$.
Корни: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$.
2) Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
Неравенства: $3\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Упрощаем: $3\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2\pi k \geq \frac{11\pi}{4} \Rightarrow k \geq \frac{11}{8} = 1.375 \Rightarrow k \geq 2$.
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow 2\pi k \leq \frac{17\pi}{4} \Rightarrow k \leq \frac{17}{8} = 2.125 \Rightarrow k \leq 2$.
Единственное целое $k$: $k = 2$.
Корень: $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$.
3) Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
Неравенства: $3\pi \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Упрощаем: $3\pi \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2\pi k \geq \frac{9\pi}{4} \Rightarrow k \geq \frac{9}{8} = 1.125 \Rightarrow k \geq 2$.
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow 2\pi k \leq \frac{15\pi}{4} \Rightarrow k \leq \frac{15}{8} = 1.875 \Rightarrow k \leq 1$.
Нет целых $k$, удовлетворяющих одновременно $k \geq 2$ и $k \leq 1$.
Корней нет.
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
Результат:
общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
б) Отбор корней на отрезке $\left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right]$
1) Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
Неравенства: $3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq \frac{9\pi}{2}$.
Упрощаем: $3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \pi n \geq \frac{5\pi}{2} \Rightarrow n \geq 2.5 \Rightarrow n \geq 3$.
$\frac{\pi}{2} + \pi n \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow \pi n \leq 4\pi \Rightarrow n \leq 4$.
Целые $n$: $n = 3$ и $n = 4$.
Корни: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$.
2) Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:
Неравенства: $3\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Упрощаем: $3\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2\pi k \geq \frac{11\pi}{4} \Rightarrow k \geq \frac{11}{8} = 1.375 \Rightarrow k \geq 2$.
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow 2\pi k \leq \frac{17\pi}{4} \Rightarrow k \leq \frac{17}{8} = 2.125 \Rightarrow k \leq 2$.
Единственное целое $k$: $k = 2$.
Корень: $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$.
3) Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:
Неравенства: $3\pi \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2}$.
Упрощаем: $3\pi \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2\pi k \geq \frac{9\pi}{4} \Rightarrow k \geq \frac{9}{8} = 1.125 \Rightarrow k \geq 2$.
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow 2\pi k \leq \frac{15\pi}{4} \Rightarrow k \leq \frac{15}{8} = 1.875 \Rightarrow k \leq 1$.
Нет целых $k$, удовлетворяющих одновременно $k \geq 2$ и $k \leq 1$.
Корней нет.
Результат:
корни на отрезке: $\frac{7\pi}{2}$, $\frac{17\pi}{4}$, $\frac{9\pi}{2}$.
Окончательный ответ: