Задание 7148B5

Найдём $a$. При $a=1$ длина $B_1N = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
Масштаб: $k = 6 / \frac{3}{2} = 4$, значит $a = 4$.

Координаты при $a=4$:
$B_1(4,0,4)$, $N(0,2,0)$, $C(4,4,0)$, $M(2,0,0)$.
Векторы:
$\overrightarrow{CM} = (-2, -4, 0)$ (направляющий плоскости),
$\overrightarrow{B_1N} = (-4, 2, -4)$.

Нормаль $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ перпендикулярна обоим векторам.
$\vec{n} = \overrightarrow{CM} \times \overrightarrow{B_1N} = (-2,-4,0) \times (-4,2,-4)$.
Вычисляем:
$i$-компонента: $(-4)\cdot(-4) - 0\cdot 2 = 16$,
$j$-компонента: $-\left[(-2)\cdot(-4) - 0\cdot(-4)\right] = -[8] = -8$,
$k$-компонента: $(-2)\cdot 2 - (-4)\cdot(-4) = -4 - 16 = -20$.
$\vec{n} = (16, -8, -20) = 4\cdot(4, -2, -5)$. Берём $\vec{n} = (4, -2, -5)$.

Уравнение плоскости: $4x - 2y - 5z + D = 0$.
Подставляем $N(0,2,0)$: $4\cdot 0 - 2\cdot 2 - 5\cdot 0 + D = 0 \Rightarrow D = 4$.
Уравнение: $4x - 2y - 5z + 4 = 0$.

Расстояние от $C(4,4,0)$ до плоскости:
$d = \frac{\left|4\cdot 4 - 2\cdot 4 - 5\cdot 0 + 4\right|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-5)^2}} = \frac{|16 - 8 + 4|}{\sqrt{16 + 4 + 25}} = \frac{12}{\sqrt{45}} = \frac{12}{3\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.