Задание 75BC83

Обозначим количество чётных чисел за $E$, а чисел, оканчивающихся на 7, за $D$. Все числа различны и натуральные. По условию $E + D = 30$, а их сумма $S_E + S_D = 810$. Так как числа, оканчивающиеся на 7, нечётны, а сумма 810 чётна, то количество нечётных чисел $D$ должно быть чётным. Пусть $D = 2k$, тогда $E = 30 - 2k$.

Пусть $E = 24$, тогда $D = 6$. Наименьшая возможная сумма 24 различных чётных чисел: $2 + 4 + ... + 48 = 600$. Наименьшая возможная сумма 6 различных чисел, оканчивающихся на 7: $7 + 17 + 27 + 37 + 47 + 57 = 192$. Их сумма $600 + 192 = 792$. Чтобы получить сумму 810, нужно увеличить некоторые числа, сохраняя их различность и условия. Это возможно, например, заменив наибольшее чётное число 48 на 66. Ответ для (а): Да.

Пусть $D = 2$, тогда $E = 28$. Наименьшая сумма 28 чётных чисел: $2 + 4 + ... + 56 = 812$. Наименьшая сумма двух чисел, оканчивающихся на 7: $7 + 17 = 24$. Общая сумма $812 + 24 = 836 > 810$. Уменьшить сумму, сохраняя условия, невозможно, так как мы уже взяли наименьшие возможные числа. Ответ для (б): Нет.

Ищем минимальное чётное $D$. $D = 0$ невозможно, так как все числа были бы чётными, и их наименьшая сумма $2 + 4 + ... + 60 = 930 > 810$. $D = 2$ невозможно по пункту (б). Проверим $D = 4$, тогда $E = 26$. Наименьшая сумма 26 чётных чисел: $2 + 4 + ... + 52 = 702$. Наименьшая сумма 4 чисел, оканчивающихся на 7: $7 + 17 + 27 + 37 = 88$. Общая сумма $702 + 88 = 790$. Чтобы получить сумму 810, нужно добавить 20, что возможно (например, увеличив наибольшее чётное число). Значит, $D = 4$ реализуемо. Ответ для (в): 4.